Question

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=4√3，∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒√3个单位的

速度运动，设运动时间为t秒，在直线OB上取两点M、N作等边△PMN。
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值。
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时的函数关系式，并求出S的最大值。
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO= ，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题；三角形的面积；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质。
专题：几何综合题；分类讨论。
分析：（1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；
（3）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；
（4）根据当D为顶点，OD=OR1=6时，当R2为顶点，OR2=DR2时，③当O为等腰△的顶点时，分别得出即可．
解答：解：（1）∵△PMN是等边三角形，
∴∠P1M1N1=60°；
∵在Rt△AOB中，
∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠AP10=90°，
在Rt△AP1O中，AP1= AO=2 ，
∴t= ，即t=2；

（2）∵△BPH∽△BAO，
∴ ，
∴PH= ，
∵cos30°= ，
∴PN= = =8﹣t，

（3）当0≤t≤1时，S1=S四边形EONF，
作GH⊥OB于H，如图3，
∵∠GNH=60°，GH=2 ，
∴HN=2，∵PN=NB=8﹣t，
∴ON=OB﹣NB，
∴ON=12﹣（8﹣t）=4+t，
∴OH=4+t﹣2=2+t，
S1= （2+t+4+t）×2
=2 t+6 ，
∵2 ＞0，
∴S随t增大而增大，
当t=1时，S最大=8 ，
当1＜t＜2时，如图4，S2=S五边形IFONG，
作GH⊥OB于H，
∵AP2= t
∴AF=2 t，
∴OF=4 ﹣2 t，
∴EF=2 ﹣（4 ﹣2 t）
=2 t﹣2 ，
∴EI=2t﹣2，
∴S2=S梯形EONG﹣S△EFI
=2 t+6 ﹣ （2t﹣2）×（2 t﹣2 ）
=﹣2 t2+6 t+4 ，
∵﹣2 ＜0，
∴当t=﹣ = 时
S2最大= ，
当t=2时，如图5，
MP=MN=6，
N与D重合，
S3=S梯形IMNG，
= ×36﹣ ×4，
=8 ，
∴ ，
S最大= ，

（4）∵△ODH是等腰三角形，
①当O为顶点，OD=OR1=6时，
OR1=6﹣2 ＞2（不合题意舍去），
当D为顶点时，R1不存在，
此时R1不存在，使△ODR是等腰三角形，
②当R2为顶点，OR2=DR2时，
ER2=P2R2=3，CP2=3 ，
∴AP2=4 ﹣3 = ，
t2= =1，
③当O为等腰△的顶点时，
CR3=6﹣2 ，
CP3= × ×2=6 ﹣6 ，
AP3=4 ﹣（6 ﹣6 ），
=6 ﹣2 ，
∴t3= =2 ﹣2＞2（不合题意舍去）．
综上所述：t=1时，△ODR是等腰三角形．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质等知识，（3）（4）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．