Question

如图， 在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E 初中数学题

（1）若BC=CD=2，M为线段AC上的一点，且AM:CM=1:2连接BM，求点C到BM的距离
（2）证明：BC+CD=AC

Answer 1

(1)解：∵BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB.

 又∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB.

∴∠ADC=∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB=∠ADC.

又AB=AD，BC=DC，

∴△ABC≌△ADC.   又∠BAD=60°，∠BCD=120°，

∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°.

∴△ABC与△ADC都为直角三角形.

∴在Rt△ABC中，AC=2BC=4.

∵AM:CM=1:2，

∴AM=4/3，MC=8/3.

又依题意可知△ABD为等边三角形，

∴∠CBD=∠CDB=90°-60°=30°.

∴∠BEC=∠DEC=90°.

∴在Rt△BCE中，BE=√3，CE=1.

∴EM=MC-CE=5/3.

∴在Rt△BEM中，MB=（2√13）/3.

设C到BM的距离为h,则有

S△BCM=（1/2）·MC·BE=（1/2）·MB·h，

即有，（8/3）·√3=h·（2√13）/3.

∴h=(4√39)/13.

所以，点C到BM的距离为(4√39)/13.

（2）证明：延长BC至点F，使得CF=CD，

又∵∠BCD=120°

∴∠DCF=60°.

∴△DCF为等边三角形.

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60+∠BDC=∠FDC+∠BDC=∠BDF.

又AD=BD，DC=DF，

∴△ADC≌△BDF.

∴AC=BF.

又CD=CF，BF=BC+CF，

∴AC= BC+CD.

Answer 2

如图所示，△FBM相似△CBG，就可求得CG

第二问：取AC的中点，连接DH，根据60°直角三角形的性质，2DC=AC，就可以证明了

Answer 3

第一问：解：∵AM:CM=1:2，AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°，BC=CD=2，∴△CBM是等边三角形,则c到BM的距离=根号3
第二问：解：∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
把△ADC绕点D逆时针旋转60°，点A与点B重合，点连接EC，C转到点E，
则△DCE是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
又∵∠BCD=120°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
故B、C、E共线，
∴AC=BE=BC+CE=BC+DC．

Answer 4

(1)∵AB=AD BC=CD
∴∠ABD=∠ADC ∠CBD=∠CDB
∴∠ABD+∠CBD=∠ADC +∠CDB
即∠ABC=∠ADC
∵,∠BAD=60°,∠BCD=120°
∴∠ABC+∠ADC=180°
∴∠ABC=∠ADC=90°
在Rt△ABC和Rt△ACD中
AB=AD BC=CD
∴Rt△ABC≌Rt△ACD
∴∠BAC=∠CAD=(1/2)∠BAD=30°
∠ACB=∠ACD=(1/2)∠BCD=60°
在Rt△ACD中，CD=2
∴AC=4（30°所对直角边=斜边的一半）
AD=AB=√(16-4)=2√3
∴BC+CD=4
∴AC=BC+CD
(2)∵AM:CM=1:2 AC=4
∴AM=4/3 CM=8/3
∵BC=CD,∠ACB=∠ACD
∴AC⊥BD
在Rt△ABE中
∠BAE=30°
∴BE=(1/2)AB=√3
∴S△BCM=(1/2)×CM×BE=(1/2)×8/3×√3=4√3/3
在△ABM中 AB=2√3 AM=4/3 ∠BAC=30°
BE²=AB²+AM²-2×AB×AM×cos30°
=12+16/9-2×2√3×4/3×√3/2
=52/9
BE=2√13/3
点C到BM的距离为h
（1/2)BM×h=4√3/3
h=4√39/13

∴