Question

已知多项式x^3+ax^2+bx+c能够被x^2+3x-4整除

1、求4a+c的值
2、求2a-2b-c的值
3、若a,b,c 均为整数且c>=a>1,试确定a,b,c的值

Answer 1

解：由于多项式x^3+ax^2+bx+c能够被x^2+3x-4整除，则
x^3+ax^2+bx+c=（x^2+3x-4）（x+d）
=x^3+dx^2+3x^2+3dx-4x-4d
=x^3+(3+d)x^2+(3d-4)x-4d
所以a=3+d;b=3d-4;c=-4d
(1)4a+c=4(3+d)-4d=12+4d-4d=12
(2)2a-2b-c=2(3+d)-2(3d-4)-(-4d)=6+2d-6d+8+4d=14
(3)由于c≥a>1，所以-4d≥3+d>1
则-2<d≤-3/5
若a,b,c 均为整数,则d也为整数
所以d=-1
则a=3+d=2;b=-7;c=4

Answer 2

因为多项式f(x)=X^3+aX^2+bX+c , 能够被X^2+3X-4整除，由X^2+3X-4=(x+4)(x-1)可知:
(x+4)、(x-1)也分别是f(x)的因子，即f(1)=0, f(-4)=0.
代入得：1+a+b+c=0; -64+16a-4b+c=0;
解得：
(1)消去b,可得4a+c=12.
进一步得到：C=12-4a, b=3a-13
(2)2a-2b-C=2a-2(3a-13)-(12-4a)=14
(3)C=12-4a>=a>1,得a<=2.4,可得a=2,C=4,b=-7