Question

在(1+x)^3+(1+x)^4+…+(1+x)^(n+2)的展开式中，含x^2项的系数是多少？

Answer 1

先求和：原式=(1+x)³[1-(1+x)^n]/[1-(1+x)]=[(1+x)^(n+3) -(1+x)³]/x
(1+x)^(n+3) 包含x³的系数为C(n+3,3),而(1+x)³的x³系数为1
∴C(n+3,3)-1=[(n+3)(n+2)(n+1)/6]-1

Answer 2

根据题意，我理解为n是大于1的自然数。
令A=1+x,则上式可变为
A^3+A^4+…+A^(n+1)+A^(n+2 ) ①
令Sn=t^0+t^1+x^2+…+t^(n-1)+t^n ，n是正整数 ②
tSn=t^0＋t^2＋t^3＋t^4＋……＋t^n＋t^﹙n＋1﹚，
tSn－Sn=t^﹙n＋1﹚－1，
﹙t－1﹚Sn=t^﹙n＋1﹚－1，
Sn=[t^﹙n＋1﹚－1]／﹙t－1﹚， ③
t^3Sn=t^3+x^4+…+t^(n+2)+t^(n+3)， ④
=③^t^3
=[t^﹙n＋4﹚－t^3]／﹙t－1﹚， ⑤
对比①、④、⑤可知，①=[A^（n+3）-A^3]/(A-1),
即[（1+x)^(n+3)-(1+x)^3]/x=（1+x)^(n+3)/x-(1+x)^3/x,计算可知，此式的后一项即“-(1+x)^3/x”化简后x^2系数是-1。
现在来计算（1+x)^(n+3)的展开式
根据二项式定理，(a+b)^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+……+Cnna^0b^n，则
（1+x)^(n+3)=C(n+3)0x^0+C(n+3)1x^1+C(n+3)2x^2+……+C(n+3)(n+3)^0b^(n+3),
要知道（1+x)^(n+3)/x中含x^2项的系数，只需计算C(n+3)3
C(n+3)3=3!*[(n+3）-3]!/（n+3）!，故
在(1+x)^3+(1+x)^4+…+(1+x)^(n+2)的展开式中，含x^2项的系数是3!n!/(n+3)!-1 =6/（n+3)(n+2)(n+1）-1。

Answer 3

(1+x)^3+(1+x)^4+……+(1+x)^n+2利用等比数列求和公式=[(1+x)^3-(1+x)^(n+3)]/[1-(1+x)]=[(1+x)^(n+3)-(1+x)^3]/x即求(1+x)^(n+3)-(1+x)^3展开式中x^3的系数等于 C(n+3,3)-C(3,3)=C（n+3，3）-1

Answer 4

由（a+b）的n次方展开，看含有你所需要的