Question

函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜π/2，x∈R)的图像的一部分如下图所示

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x∈[-6,-2\3]，求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相对应的x的值。

Answer 1

解：
(I)由图可以看出
T=2π/ω=8，ω=π/4【注意！不是1/4！】
最大值为2，最小值为-2，故A=2
故f(x)=2sin(πx/4+φ)
由f(-1)=f(3)=0，得：
φ=(k+1/4)π，又由|φ|＜π/2
得：φ=π/4
故f(x)=2sin(πx/4+π/4)

（II）
y=f(x)+f(x+2)
=2sin(πx/4+π/4)+2sin(πx/4+3π/4)
=2sin(πx/4+π/4)+2cos(πx/4+π/4)
=2√2sin(πx/4+π/4+π/4)
=2√2cos(πx/4)
由x∈[-6,-2\3]，得πx/4∈[-3π/2,-π/6]
当πx/4=-π，则x=-4时，有最小值-2√2
当πx/4=-π/6，则x=-2/3时，有最大值√6

Answer 2

1.f(x)=2sin((派/4)x+派/4)
2.y=f(x)+f(x+2)=2sin((派/4)x+派/4)+2sin((派/4)x+派/4+派/2)
=2sin((派/4)x+派/4)+2cos((派/4)x+派/4)
=2根号2sin((派/4)x+派/4+k)
其中sink=根号2/2, 所以k=派/4 代入
所以y=2根号2sin((派/4)x+派/2)
x在[-6,-2/3],所以 (派/4)x+派/2 在[-派,派/3]
所以x=-4,y(min)=-2根号2
x=-2/3,y(max)=根号6