Question

已知函数f(x)=x2+ax-Inx，a∈R (1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值

（2）令g(x)=f(x)-x^2,是否存在实数a，当x∈(0,e]时，函数g(x)的最小值是3？若存在，求a的值，若不存在，说明理由

Answer 1

1)f'(x)=2x+a-1/x=1/x*(2x^2+ax-1)
在[1,2]上是减函数，则h(x)=2x^2+ax-1=0的两个根分别位于x>=2, 及x<=1的区间上
h(1)=2+a-1=1+a<=0,得：a<=-1
h(2)=8+2a-1=7+2a<=0,得：a<=-7/2
故a<=-7/2
2)g(x)=ax-lnx
g'(x)=a-1/x=0, 得极值点：x=1/a
若a<=0, 则g'(x)<0, 函数单调减，最小值为g(e)=ae-1=3, 得：a=4/e>0, 不符
若a>0, 则极小值点为f(1/a)=1+lna
若1/a<=e, 即a>=1/e, 则有最小值=1+lna=3, 得：a=e^2, 符合
若1/a>e, 即0<a<1/e,则在（0，e]上单调减，由上， 得a=4/e,不符
综合得：a=e^2

Answer 2

定义域x>0
1. f'(x)=2x+a-1/x=(2x^2+ax-1)/x
函数f(x)在[1,2]上是减函数，
对称轴x=-a/4
(1) -a/4<=0 a>=0 f'(2)<=0 f'(2)=(7-2a)/2<=0 a>=7/2
所以a>=7/2
(2) -a/4>0 a<0 f'(2)<=0 a>=7/2 无交集
所以a>=7/2
2. g(x)=ax-lnx
g'(x)=a-1/x=(ax-1)/x
(1)a<=0 g'(x)<0恒成立 g(x)在定义域内是减函数
当x∈(0,e]时，gmin=g(e)=-1≠3 a≠0
(2) a>0 g'(x)=0 x=1/a
x 0<x<1/a 1/a x>1/a
g'(x) - 0 +
g(x) 减 极小值 增
(i) 1/a>=e 0<a<=1/e时，g'(x)在（0，e]上是减函数，
gmin=g(e)=ae-1=3 a=2/e 2/e>1/e a不存在
(ii) 1/a<e a>1/e
gmin=g(1/a)=1-ln(1/a)=1+lna=3 lna=2 a=e^2
e^2>1/e
所以 a=e^2

Answer 3

1)f'(x)=2x+a-1/x=1/x*(2x^2+ax-1)
在[1,2]上是减函数，则h(x)=2x^2+ax-1=0的两个根分别位于x>=2,
及x<=1的区间上
h(1)=2+a-1=1+a<=0,得：a<=-1
h(2)=8+2a-1=7+2a<=0,得：a<=-7/2
故a<=-7/2
2)g(x)=ax-lnx
g'(x)=a-1/x=0,
得极值点：x=1/a
若a<=0,
则g'(x)<0,
函数单调减，最小值为g(e)=ae-1=3,
得：a=4/e>0,
不符
若a>0,
则极小值点为f(1/a)=1+lna
若1/a<=e,
即a>=1/e,
则有最小值=1+lna=3,
得：a=e^2,
符合
若1/a>e,
即0<a<1/e,则在（0，e]上单调减，由上，
得a=4/e,不符
综合得：a=e^2