Question

求正弦信号x(t)=Asin(wt+φ)的自相关函数和功率谱密度函数

解题过程和答案

Answer 1

答：

R(t1,t2)=E[x(t1)x(t2)]=E[Asin(wt1+φ)Asin(wt2+φ)]=(A2/2)E{cos(t2-t1)-cos[w(t2+t1)+2φ]}=(A2/2){cos(t2-t1)+∫02πcos[w(t2+t1)+2φ](1/2π)dφ}=(A2/2)[ cosw(t2-t1)+0]= (A2/2) cosw(t2-t1) 

令t2-t1=τ , 则R(t1,t2)= (A2/2) coswτ=R（τ）

傅立叶变换coswτ<=>π[δ(W-w)+ δ(W+w)]所以,自相关函数为R（τ）=(A2/2) coswτ,功率谱密度为Px(w)= (πA2/2) [δ(W-w)+ δ(W+w)]

扩展资料：

一个正弦信号可表示为 x(t) = Asin(ω*t+φ)=Acos(ω*t+φ－π/2) 。式中，A 为振幅，ω为角频率（弧度/秒），φ 为初始相角（弧度）。正弦信号是周期信号，其周期T为：T=2π/ω=1/f 。

由于余弦信号与正弦信号只是在相位上相差π/2，所以将它们统称为正弦型信号（简称正弦信号）。工业及照明用电就是正弦信号。

振荡电路输出的正弦波一般都含有谐波分量，方波就是由一系列的谐波分量叠加而成。

Answer 2

解：R(t1,t2)=E[x(t1)x(t2)]=E[Asin(wt1+φ)Asin(wt2+φ)]=(A2/2)E{cos(t2-t1)-cos[w(t2+t1)+2φ]}=(A2/2){cos(t2-t1)+∫02πcos[w(t2+t1)+2φ](1/2π)dφ}=(A2/2)[ cosw(t2-t1)+0]= (A2/2) cosw(t2-t1) 令t2-t1=τ ， 则R(t1,t2)= (A2/2) coswτ=R（τ）
傅立叶变换coswτ<=>π[δ(W-w)+ δ(W+w)]所以，自相关函数为R（τ）=(A2/2) coswτ，功率谱密度为Px(w)= (πA2/2) [δ(W-w)+ δ(W+w)]
(A2是A的平方）要记得给分哦……

追问

第二行的∫02πcos[w(t2+t1)+2φ](1/2π)dφ有些看不懂，一是那个0是啥，二是为啥是dφ而不是dt,自相关函数定义不是1/T∫x(t)x(t+τ)dt吗？

追答

∫02π是积分上下限，下限是0，上限是2π，你说的1/T∫x(t)x(t+τ)dt是时间相关函数，求遍历性用的