Question

如图PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D

PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=，求sin∠E．

Answer 1

证明：
连接OA
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
∵OA＝OB，OP⊥AB于C
∴BC＝CA，PB＝PA
∴△PBO≌△PAO
∴∠PBO＝∠PAO＝90°
∴PB为⊙O的切线

（2）
连接OA，∠AOE=2∠ABE，
所以tan∠AOE=tan2∠ABE=2tan∠ABE/(1-tan∠ABE^2)=4/3.
所以AE/AO=4/3,因为PE为切线，
所以OA垂直PE，设OA为3，AE为4，由勾股定理得OE为5，
所以sinE=OA/OE=3/5