Question

已知A、B是椭圆x^2/4+y^2=1的左、右顶点,直线x=t(-2<t<2)交椭圆于M、N两点,经过A、M、N的圆圆心为C1，经过

经过B、N、M的圆圆心为C2 .
（1）求证|C1C2|为定值
（2）求圆C1与圆C2的面积之和的取值范围

Answer 1

解：
由已知，椭圆半长轴 a =2，半短轴b=1； A，B坐标为A(-2,0)，B(2,0)
直线x=t 与椭圆的交点M, N 坐标为M(t, √(1-t²/4))，N(t, -√(1-t²/4))
过MN的圆，其圆心在MN的垂直平分线上，即x 轴上。
设：
过A、M、N的圆半径为r1, 则其圆心坐标为 C1(-2+r1, 0)；
过B、M、N的圆半径为r2, 则其圆心坐标为 C2( 2-r2, 0)；
圆C1 方程为：
(x+2-r1)² + y² = r1² ---- (1)
圆C2 方程为：
(x-2+r2)² + y² = r2² ---- (2)
M, N在C1，C2上，坐标满足方程(1)(2), 代入得：
(t+2-r1)² + 1- t²/4 = r1² ---- (3)
(t-2+r2)² + 1- t²/4 = r2² ---- (4)
整理得：
3t²/4 + (4-2r1)t +(5 - 4r1) = 0 ---- (5)
3t²/4 - (4-2r2)t +(5 - 4r2) = 0 ---- (6)
解得：
r1 = 5/4 + 3t/8；
r2 = 5/4 - 3t/8；
因此：
(1) |C1C2| = |(-2+r1) - (2-r2)| = |-4+(r1+r2)| = 3/2
即 |C1C2|为定值
(2) C1, C2的面积之和为：
S = π*r1² + π*r2²
= π*(9t² + 100)/32
当 -2<t<2 时 0≤ t²< 4，因此
π*(9*0 + 100)/32 ≤ S < π*(9*4 + 100)/32
==>25π/8 ≤ S < 17π/4
因此，两圆面积和的取值范围是 [ 25π/8，17π/4)

Answer 2

1. x^2/4+y^2=1
x=t y1=√(8-2t^2)/2 y2=-√(8-2t^2)/2
M(t,√(8-2t^2)/2) N(t,-8-2t^2)/4)
A(-2,0) B(2,0) C1,C2都在x轴上
设C1(x1,0)
|C1A|=|C1M| |C1A|^2=|C1M|^2
(2+x1)^2=(x1-t)^2+(4-t^2)/2
x1=(t-2)/4
设C2(x2,0)
|C2B|=|C2M| |C2A|^2=|C2M|^2
(2-x2)^2=(x2-t)^2+(4-t^2)/2
x2=(t+2)/4
|C1C2|=|x2-x1|=1 定值
2. 设C1(m,0) C2(m+1,0) -2<m m+1<2 所以-2<m<1
r1=2+m
r2=1-m
S=π(2+m)^2+π(1-m)^2
=π(2m^2+2m+5)
=2π[(m+1/2)^2+9/4]
m=-1/2 Smin=9π/2
m=1或m=-2时S=9π 但是m≠1或m≠-2
所以圆C1与圆C2的面积之和的取值范围【9π/2，9π)

Answer 3

额