Question

已知:如图,E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是矩形

Answer 1

这个很简单，需要用到全等三角形和多边形内角和知识：
证明：∵ABCD是菱形
∴∠A = ∠C，∠B = ∠D，AB=BC=CD=DA
∵E、F、G、H分别是ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点
∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH
∴由AE=CF，∠A = ∠C，AH=CG（SAS）可知△AEH和△CFG全等
同理由BE=DH，∠B = ∠D，BF=DG（SAS）可知△BEF和△DHG全等
∴EH=FG，EF=HG（全等三角形对应边相等）
∴∠AEH=∠AHE=∠CFG=∠CGF，∠BEF=∠BFE=∠DHG=∠DGH（全等等腰三角形对应角相等）
∴∠HEF=180-（∠AEH+∠BEF）=180-（∠CFG+∠BFE）=∠GFE
同理可证∠HEF=∠GFE=∠HGF=∠GHE
∵∠HEF+∠GFE+∠HGF+∠GHE=360（四边形内角和）
∴∠HEF=∠GFE=∠HGF=∠GHE=90
∴四边形EFGH是矩形