Question

已知函数f(x)=e^x-a/x,g(x)=alnx+a.(1)a=1时，求F(x)=f(x)-g(

已知函数f(x)=（e^x-a）/x,g(x)=alnx+a.(1)a=1时，求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间
（22）若x>1时，函数y=f(x)的图像总在函数y=g(x)的图像的上方，求实数a的取值范围。

Answer 1

即求x>1时，总有(e^x-a)/x>alnx a成立
即总有e^x-a>ax(lnx 1)成立
即总有e^x>a[xlnx x 1]成立 (1)
∵x>1时，xlnx x 1>2
∴当a<0时，不等式显然成立
欲使不等式(1)在a>0时成立，首先要保证x>1时，左边的增长率要大于右边的增长率
即要有(e^x)'=e^x>{a[xlnx x 1]}'=a(lnx 1 1)=a(lnx 2) (2)
上述不等式成立的条件是，不等式两边再取导数时，不等式依然成立
即不等式(2)成立的条件，也要左边的增长率要大于右边的增长率
即要有(e^x)'=e^x>[a(lnx 2)]'=a/x
当x>1时，有e^x>e, a>a/x
欲使上述不等式成立，只需保证e≥a即可
即a≤e时，可保证不等式(1)左边的增长率大于右边的增长率
在保证增长率的前提下，只需保证在x=1时，左边的函数值不小于右边函数值即可
即当x=1时，令e≥a*[0 1 1]=2a即可
解得a≤e/2
综合可得，a的取值范围为a≤e/2

Answer 2

(1)用导数算

Answer 3