Question

如图，RT三角形ABC中，角ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于D，E是BC上一点，OE平行于AC，直线ED与AB的延长

交于点F。（2）若EC=2，DF=7，求半径

Answer 1

连接BD   ∵AB是⊙O直径   ∴BD⊥AC即∠BDA=∠BDC=90°

∵OE∥AC    ∴容易得BO／BA=BE／BC    而∵OB=½AB   ∴BE=½BC即E为BC的中点

∴RT⊿BDC中 DE=BE=EC=2

∵在RT⊿BDC中∠C＋∠CBD=90°    又在RT⊿ABC中∠C＋∠CAB=90°

∴∠CBD=∠CAB

∵DE=BE      ∴∠EBD=∠EDB即∠CBD=∠FDB

∴∠FDB=∠CAB     又∵∠F=∠F

∴⊿FDB∽⊿FAD     ∴BF／DF=DF／AF    ∴DF²=BF×AF

∵OE∥AC     ∴OA／OF=DE／EF  而DE=2，DF=7    ∴EF=5

∴OA／OF=2／5   而OA=OB     ∴设OA=OB=2k，∴OF=5k

∴FB=3k   ∴根据DF²=BF×AF   即有 7²=3k·﹙2k＋5k﹚

∴k²=7／3   ∴k=√21／3

∴⊙O 的半径：OA=2k=2√21／3