Question

在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，a²-c²=b²-8bc/5,a=3,△ABC的面积为6，

D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d
（1）求角A的正弦值
（2）求边b，c
（3）求d的取值范围

Answer 1

将已知条件a²-c²=b²-8bc/5变换成a²=b²+c²-2bc*(4/5)
有余弦定理可知cosA=4/5
所以sinA=√(1-cos²A)=√(1-(4/5)²)=3/5(1问答案)
由S=1/2bcsinA=6可知,bc=12*5/3=20
所以b²+c²=a²+8bc/5=9+20*8/5=41
所以(b+c)²=b²+c²+2bc=41+40=81
所以b+c=9,与bc=20连立可解得b=4,c=5或b=5,c=4(2问答案)
设D到a,b,c的距离分别为x,y,z
有ax+by+cz=2(S△DBC+S△DAC+S△DAB)=2S△ABC=12
所以3x+4y+5z=12(这里只计算a=3,b=4,z=5的情况)
所以4(x+y+z)-x+z=4d+z-x=12
4d=12+z-x
由于a²+b²=c²
所以△ABC为直角三角形
所以当D在点C时,4d取得最大值12+12/5
当D在点A时,4d取得最小值12-4
所以2≤d≤18/5

Answer 2

将已知条件a²-c²=b²-8bc/5变换成a²=b²+c²-2bc*(4/5)
有余弦定理可知cosA=4/5
所以sinA=√(1-cos²A)=√(1-(4/5)²)=3/5(1问答案)
由S=1/2bcsinA=6可知,bc=12*5/3=20
所以b²+c²=a²+8bc/5=9+20*8/5=41
所以(b+c)²=b²+c²+2bc=41+40=81
所以b+c=9,与bc=20连立可解得b=4,c=5或b=5,c=4(2问答案)
设D到a,b,c的距离分别为x,y,z
有ax+by+cz=2(S△DBC+S△DAC+S△DAB)=2S△ABC=12
所以3x+4y+5z=12(这里只计算a=3,b=4,z=5的情况)
所以4(x+y+z)-x+z=4d+z-x=12
4d=12+z-x
由于a²+b²=c²
所以△ABC为直角三角形
所以当D在点C时,4d取得最大值12+12/5
当D在点A时,4d取得最小值12-4
所以2≤d≤18/5