Question

如图所示，三角形ABC中，AB=AC，在AC上取一点E，在BA的延长线上取一点D，使AD=AE，连接DE并延长交BC于F。

求证：DF⊥BC。若把条件"AD=AE"与结论"DF⊥BC"互换，是否还成立，试证之。                                            

Answer 1

有很多方法，我只选了一种。
证明：过C点做CG∥DF，交BA延长线于G点。
在⊿ACG中，
∵CG∥DF
∴AE/AC=AD/AG（三角形一边的平行线分割其他两边，所得的线段成比例）
∵AD=AE（已知）
∴AC=AG
∵AB=AC（）已知
∴AB=AC=AG
∴⊿BCG是直角三角形（定理“直角三角形斜边中线到三边距离相等”的逆定理）
∴GC⊥BC
DF⊥BC
由上述论证可知：
若已知：DF⊥BC，则：AD=AE仍然成立。
简略证明：
过C做直线CG⊥BC，交BA的延长线于G点，
则：⊿BCG为直角三角形
又AB=AC，可证AC=AG
又CG∥DF
所以可证：AD=AE

Answer 2

1 证明：过点A作AH⊥BC于H

∵AB= AC

∴ ∠BAH = ∠CAH = 1/2 ∠BAC

∵AD = AE

∴∠D = ∠AED

∵∠BAC = ∠D + ∠AED

∴∠D = 1/2 ∠BAC

∴ ∠BAH = ∠D

∴DF//AH

故：DF⊥BC

2 交换后，依然成立。

证明：过点A作AH⊥BC于H

∵AB= AC

∴ ∠BAH = ∠CAH

∵ DF⊥BC

∴DF//AH

∴∠D = ∠BAH ∠AED = ∠CAH

∴∠D = ∠AED

故：AD= AE

Answer 3

∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AE=AD
∴∠AED=∠ADE；
∵∠A+∠B+∠C=180°；
∠A=∠AED+∠ADE；
∠AED=∠CEF
∴∠CEF+∠C=(1/2)(∠A+∠B+∠C)=90°
∴DF⊥BC