Question

如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC,BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合。

如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC,BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF。（1）求角AGD的大小和AD除以AE的值。（2）求证四边形AEFG为菱形且BE=2OG（3）求三角形AGD于三角形OGD的面积的数量关系。图：

Answer 1

以下过程中对一些熟知的定理和简单的数学运算给予恰当省略。
1.根据题意，A,F关于支线DE对称。于是∠ADG=1/2∠ADB=22.5° ∠DAG=45°
所以∠AGD=112.5°
（求比值如果用三角函数法 简单粗暴
AD/AE=cot22.5° 下面来求这个值。a=tan22.5°
那么由万能公式，tan45°=2a/(1-a^2)=1 解这个方程，且舍去负根得到a=√2-1
于是AD/AE=√2+1）

如果要用有技术含量的方法。设正方形边长为1，由于A,F关于DE对称，所以AE=EF,AD=DF,∠EFB=90°
显然∠FBE=45° =＞ △BEF为等腰直角三角形，AE=EF=BF=BD-BF=BD-AD=√2-1
所以AD/AE=1/(√2-1)=√2+1

2:∠aeg=90°-∠EDA=67.5°
∠AGE=180°-∠AGD=180°-112.5°=67.5°=∠AEG
所以AE=AG 根据对称，AE=EF,EG=GF 所以这四条边都相等 故aefg为菱形。

3.两三角形在ac直线上共高，面积比为底边之比。
ag/og
而ag=ae=√2-1 ao=√2/2 所以og=ao-ag=1-√2/2
比值为√2