Question

设函数f(x)=lnx+(x-a)^2 ，a∈R ⑴若a=3/2 求函数f(x)在[2/3,e]上的最小值 ⑵若函数f(x)在[1/2,2]上存在单

调递增区间 试求实数a的取值范围

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Answer 1

(1) f'(x)=1/x + 2(x-a) = 1/x + 2x - 3
let f'(x) = 0, 1/x + 2x - 3 = 0, 2x^2 -3x + 1 = 0, x = 1 f(x) = 1/4

(2) f'(x) = 1/x + 2(x-a) > 0 when x beongs to [1/2,2]
f'(x) = 1/x + 2x - 2a = (2x^2 + 1)/x - 2a
in [1/2, 2] (2x^2 + 1) /x increases with minimum value of 3
so 3-2a > 0, a < 3/2

Answer 2

：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
因为f′(x)=1 x +2x＞0，
所以f（x）在[1，e]上是增函数，
当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1．
所以f（x）在[1，e]上的最小值为1．…（3分）
（Ⅱ）解法一：f′(x)=1 x +2(x-a)=2x2-2ax+1 x设g（x）=2x2-2ax+1，…（4分）
依题意，在区间[1 2 ，2]上存在子区间使得不等式g（x）＞0成立．…（5分）
注意到抛物线g（x）=2x2-2ax+1开口向上，
所以只要g（2）＞0，或g(1 2 )＞0即可．…（6分）
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，得a＜9 4 ，
由g(1 2 )＞0，即1 2 -a+1＞0，得a＜3 2 ，
所以a＜9 4 ，
所以实数a的取值范围是(-∞，9 4 )．…（8分）
解法二：f′(x)=1 x +2(x-a)=2x2-2ax+1 x ，…（4分）
依题意得，在区间[1 2 ，2]上存在子区间使不等式2x2-2ax+1＞0成立．
又因为x＞0，所以2a＜(2x+1 x )．…（5分）
设g（x）=2x+1 x ，所以2a小于函数g（x）在区间[1 2 ，2]的最大值．
又因为g′(x)=2-1 x2 ，
由g′(x)=2-1 x2 ＞0，解得x＞ 2 2 ；
由g′(x)=2-1 x2 ＜0，解得0＜x＜ 2 2 ．
所以函数g（x）在区间( 2 2 ，2)上递增，在区间(1 2 ， 2 2 )上递减．
所以函数g（x）在x=1 2 ，或x=2处取得最大值．
又g(2)=9 2 ，g(1 2 )=3，所以2a＜9 2 ，a＜9 4
所以实数a的取值范围是(-∞，9 4 )．…（8分）
（Ⅲ）因为f′(x)=2x2-2ax+1 x ，令h（x）=2x2-2ax+1
①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
这时f'（x）＞0，
此时，函数f（x）没有极值点； …（9分）
②当a＞0时，
（ⅰ）当△≤0，即0＜a≤ 2 时，
在（0，+∞）上h（x）≥0恒成立，
这时f'（x）≥0，
此时，函数f（x）没有极值点； …（10分）
（ⅱ）当△＞0，即a＞ 2 时，
易知，当a- a2-2 2 ＜x＜a+ a2-2 2 时，
h（x）＜0，这时f'（x）＜0；
当0＜x＜a- a2-2 2 或x＞a+ a2-2 2 时，
h（x）＞0，这时f'（x）＞0；
所以，当a＞ 2 时，x=a- a2-2 2 是函数f（x）的极大值点；
x=a+ a2-2 2 是函数f（x）的极小值点．…（12分）
综上，当a≤ 2 时，函数f（x）没有极值点；
当a＞ 2 时，x=a- a2-2 2 是函数f（x）的极大值点；
x=a+ a2-2 2 是函数f（x）的极小值点．…（13分）