Question

设O为坐标原点，F1，F2是x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的焦点，若双曲线上存在一点

设O为坐标原点，F1，F2是x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的焦点，若双曲线上存在一点P满足∠F1PF2=60°且|OP|=根号7乘a，则双曲线的渐近线方程为？

Answer 1

解：因为|OP|=根号7乘a ， 设P(x,y) x^2+y^2=7a^2 x^2/a^2--y^2/b^2=1
y^2=6(ab)^2/(b^2+a^2)=6(ab)^2/c^2
因为∠F1PF2=60° 设F1P与X轴夹角为a1 tana1=y/(x+c)
设F2P与X轴夹角为a2 tana2=y/(x--c) a2--a1=60
tan60=根3=tan(a2--a1)=[y/(x--c)-y/(x+c)]/[1+y/(x--c)*y/(x+c)]=2yc/(x^2+y^2--c^2)=
根3=2yc/(7a^2--c^2) y=根3(7a^2--c^2)/2c y^2=3(7a^2--c^2)^2/4c^2=6(ab)^2/c^2
(6a^2--b^2)^2=8(ab)^2 6a^2--b^2=2根2ab b=√2a b=--3v2a<0 不要
双曲线的渐近线方程为：x/a+y/(√2a)=0 即 √2 x+y=0 或√2 x--y=0

Answer 2

(PF1+PF2)^2=4PO^2,即PF1^2+PF2^2+2PF1*PF2*cos60=4(PO)^2
PO=根号7乘a ,PF1+PF+PF1*PF2=28a^2
由双曲线定义得PF1-PF2=2a,PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2=4a^2
相减得PF1*PF2=8a^2,PF1^2+PF2^2=20a^2
在三角形PF1F2中，由余弦定理得PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2*cos60=(F1F2)^2
所以20a^2-8a^2=4c^2,c^2=3a^2,又因为b^2=c^2-a^2=2a^2,所以b/a=√2
双曲线的渐近线方程为：√2 x+y=0 或√2 x--y=0