Question

如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DF⊥AB于E，且AB＞AC,求证；BE-AC=AE.

Answer 1

过D作DG⊥AC交CA的延长线于点G，则DG=DE
由△ADG≌△ADE得：AG=AE
连结DC、DB
∵DF垂直平分BC
∴DB=DC
∴Rt△DEB≌Rt△GDC（HL）
∴BE=CG
∴BE=CG=AC+AG=AC+AE
即BE-AC=AE

Answer 2

过D点，作DE垂直AB垂足为E点，在利用角平分线性质说明CD=DE
在根据"HL"定理说明△ACD与△AED全等，所以AC=AE;
△DEB为直角等腰三角形，DE=EB
所以AB=AE+EB=AC+CD

Answer 3

证明：作DG⊥AC，连接BD、CD，
∵AD是外角的平分线，
∴∠DAE=∠DAG，DE=DG，
∴△ADE≌△ADG，
∴AE=AG，
∵DF是BC的中垂线，
∴BD=CD，
∴在Rt△BED和Rt△CGD中，
DE=DG
BD=CD

∴△BED≌△CGD（HL），
∴BE=CG=AC+AG，AG=AE，
∴BE-AC=AE．