Question

利用二重积分计算由（x-1）^2+（y-1）^2=1,xy=z,z=0所围成图形的体积

Answer 1

（x-1）^2+（y-1）^2=1是圆柱面，在XOY平面投影是圆心在（1，1），半径为1的圆，
z=xy是个双曲抛物面，
积分区域D： 0≤x≤2,
1-√[1-（x-1)^2]≤y≤1+√[1-（x-1)^2],
V=∫【0，2】dx∫【1-√[1-（x-1)^2]，1+√[1-（x-1)^2]】 xy dy
=(1/2)∫【0，2】dx{1+√[1-（x-1)^2]}^2-{1-√[1-（x-1)^2]}^2
=(1/2)∫【0，2】{1+√[1-（x-1)^2]+1-√[1-（x-1)^2]}{1+√[1-（x-1)^2]-1+√[1-（x-1)^2}xdx
=(1/2)∫【0，2】2*2x√[1-（x-1)^2]dx
=2∫【0，2】x√[1-（x-1)^2]dx
=(-2/2)∫【0，2】√（2x-x^2)d(2x-x^2)+2∫【0，2】√（(2x-x^2)dx
=-(2x-x^2)^(1/2+1)/(1/2+1)【0，2】+2∫【0，2】√（(2x-x^2)dx
=2∫【0，2】√（(2x-x^2)dx
设x-1=u,
V=2∫【-1，1】√（1-u^2)du
设u=sint,du=costdt,
V=2∫【-π/2，π/2】(cost)^2dt
=(2/2)∫【-π/2，π/2】(1+cos2t)dt
=(t+sin2t/2)[-π/2,π/2]
=π/2-（-π/2）+0-0
=π。
用极坐标，积分区域：0≤θ≤π/2。圆的极坐标方程为：ρ^2-2ρ(sinθ+cosθ)+1=0,ρ和θ函数关系较复杂，楼上答案是如何得到的？

Answer 2

解：根据题意分析知，所围成的立体的体积在xy平面上的投影是d：y=1与y=x²围成的区域(自己作图)
故
所围成的立体的体积=∫∫<d>(x²+y²)dxdy
=2∫<0,1>dx∫<x²,1>(x²+y²)dy
=2∫<0,1>(x²+1/3-x^4-x^6/3)dx
=2(x³/3+x/3-x^5/5-x^7/21)│<0,1>
=2(1/3+1/3-1/5-1/21)
=88/105。

Answer 3

V=∫∫xydxdy x-1=psint y-1=pcost
=∫【0,2π】dt∫【0，1】（psint+1）(pcost+1)pdp
=π