Question

设A为n阶矩阵，证明：（1）|A*|=|A|^（n-1），（2）（A*）^（-1）=|A|^（-1）A。

请给出详细解析！谢谢！

Answer 1

1、这里的A假设是非零矩阵，若A=0，结论成立是显然的。
由AA*=|A|E，取行列式得|A|×|A*|＝|A|^n。
A可逆时，|A|≠0，所以|A*|＝|A|^(n-1)
A不可逆时，|A|=0，若|A*|≠0，则A*可逆，由AA*=|A|E=0得A=0，与A≠0矛盾，所以|A*|=0
综上，A*|＝|A|^(n-1)
2、由AA*=A*A=|A|E，两边同除以|A得(1/|A| A)A*=A*(1/|A| A)=E，所以A*的逆矩阵是1/|A| A

Answer 2

性质AA*=|A|E
所以|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|^n
当A不可逆时|A||A*|==0=||A|E|=|A|^n=|A|^(n-1)=0恒成立
当A可逆）|A*|=|A|^(n-1)
2）（A*）^（-1）=|A|^（-1）A。
设A为n阶可逆矩阵
A^(-1)=A*/|A|
(A*)^(-1)=A/|A|

追问

AA*=|A|E？这是什么性质？，然后，||A|E|=|A|^n是怎么得到的？

追答

秩性质

追问

(A*)^(-1)=A/|A| 是怎么来的？难道伴随的伴随是本身？

追答

A A* = |A|E
(A/|A|) A* = E
所以A*的逆矩阵是A/|A|