Question

计算二重积分∫∫xydxdy ，其中积分区域 D是由y=x ，y=1 ，和x=2 所围成的三角 形域。 D

∫ 是一个字符
D

Answer 1

X区域：
D：x = 2，y = 1，y = x ==> 1 ≤ x ≤ 2，1 ≤ y ≤ x
∫∫_D xy dxdy
= ∫(1→2) dx ∫(1→x) xy dy
= ∫(1→2) [xy²/2]：(1→x) dx
= ∫(1→2) (x³/2 - x/2) dx
= [x⁴/8 - x²/4]：(1→2)
= (2 - 1) - (1/8 - 1/4)
= 9/8

Y区域：
D：1 ≤ y ≤ 2，y ≤ x ≤ 2
∫∫_D xy dxdy
= ∫(1→2) dy ∫(y→2) xy dx
= ∫(1→2) [yx²/2]：(y→2) dy
= ∫(1→2) (2y - y³/2) dy
= [y² - y⁴/8]：(1→2)
= (4 - 2) - (1 - 1/8)
= 9/8

Answer 2

积分区域 D是由y=x ，y=1 ，和x=2 所围成的一个梯形区域，分成两块再求积分

Answer 3

积分区域为：1《y《2，y《x《2
∫∫xydxdy =∫[1,2]ydy∫[y,2]xdx=9/8

Answer 4

∫∫xydxdy =9/8