Question

已知等腰直角三角形ABC，角C为直角，斜边AB上取两点M,N .且角MCN为45度，求证MN的平方=AM的平方+BN的平方

M点靠近A，N点靠近B

Answer 1

证明：如图，由AC=BC，将△BCN绕C点旋转，使B与A重合，N点落到D点，连接MD，则△BCN≌△ACD，∴DC=CN，AD=BN，∠3=∠2，∠4=∠B=45°，

∴∠DAM=90°，

∵∠MCN=45°，∴∠1+∠2=45°，∴∠1+∠3=45°，

∴∠DCM=∠NCM，又∵DC=CN，MC=MC，∴△DCM≌△NCM ，∴DM=MN，

在Rt△DAM中，DA2+AM2=DM2 ，∴AM2+BN2=MN2

Answer 2

已知等腰直角三角形ABC，角C为直角，斜边AB上取两点M,N .且角MCN为45度，求证MN的平方=AM的平方+BN的平方

Answer 3

解答：
将△ACM顺时针旋转90°到△BCD的位置，
∴△ACM≌△BCD，
∴AM=BD，∠ACM=∠BCD，而∠MCN=45°，
∴∠DCN=45°，CM=CD，
∴△MCN≌△DCN，
∴MN=DN，
又∠A=∠DBC=45°，∴∠NBD=90°，
∴在直角△DBN中，
由勾股定理得：DN²=BD²＋BN²，
∴MN²=AM²＋BN²。

Answer 4

证：∵△ABC是等腰直角
∴CB=CA，∠B=∠CAB=45°
将△CBN绕C沿逆时针方向旋转90度，使CB与CA重合。得到△CAN′≌△CBN。
∴BN=AN′ ∠BCN=∠N′CA
∴∠B=∠CAN′
∵∠B=∠CAB=45°
∴∠CAN′+∠CAB=∠N′AM=90°
∴△N′AM是直角三角形
∵∠ACM+∠BCN=90°-∠MCN=90°-45°=45°
∠ACM+∠N′CA=∠ACM+∠BCN
即∠N′CM=∠MCN
在△N′CM与△MCN中
∵CN=CN′，CM=CM，∠N′CM=∠MCN
∴△N′CM≌△MCN（SAS）
∴N′M=MN
∵△N′AM是直角三角形
∴MN′²=AM²+AN′²
即MN²=AM²+BN²

Answer 5

把三角形ACM旋转出去，使AC与BC重合（AB重合），连接M1N
∠M1BN=45+45=90
M1B²+NB²=M1N²
再证MN=M1N
用边角边
CM=CM1 45=45 CN=CN
即可