Question

f(x)有二阶连续导数，f(x)=sinx-[(x-t)f(t)dt在0到x上的积分]，求f(x)……急…

Answer 1

你求两次导数，可以得到一个二阶微分方程。没时间啦。
f(x)=sinx-∫[0,x][(x-t)f(t)dt，所以：f'(x)={sinx-x∫[0,x]f(t)dt+∫[0,x]tf(t)dt}'
=cosx-∫[0,x]f(t)dt-xf(x)+xf(x) = cosx-∫[0,x]f(t)dt
f''(x)=-sinx-f(x)。或：f''(x)+f(x)=-sinx, 这是二阶微分方程
齐方程的通解为：f(x)=C1cosx+C2sinx，因为1是特征根，故设特解形式为：Y=x(Acosx+Bsinx)
代入求得：A=1/2，B=0，所以：f(x)=C1cosx+C2sinx+xcosx/2
因为：f(0)=0，f'(0)=1，求得：C1=1 C2=1/2
故：f(x)=cosx+sinx/2+xcosx/2

Answer 2

f(x)=sinx-∫[0,x][(x-t)f(t)dt，所以：f'(x)={sinx-x∫[0,x]f(t)dt+∫[0,x]tf(t)dt}'
=cosx-∫[0,x]f(t)dt-xf(x)+xf(x) = cosx-∫[0,x]f(t)dt
f''(x)=-sinx-f(x)。或：f''(x)+f(x)=-sinx, 这是二阶微分方程
齐方程的通解为：f(x)=C1cosx+C2sinx，因为1是特征根，故设特解形式为：Y=x(Acosx+Bsinx)
代入求得：A=1/2，B=0，所以：f(x)=C1cosx+C2sinx+xcosx/2
因为：f(0)=0，f'(0)=1，求得：C1=0 C2=1
故：f(x)=sinx+xcosx/2