Question

若函数f(x)=sin ωx+√3cos ωx,x∈R，又f(α)=f(β)=2,且|α-β|的最小值为3π，则正数ω的值为?

上面的|α--β|的最小值为3π.是什么意思.是它的周期吗？可为什么呢？书上都没看到过..

Answer 1

|α--β|的最小值为3π.是它的周期.
因为f(x)=sinwx+根号3coswx=2sin(wx+Pai/3)
它的最大值是:2,又有f(α)=f(β)=2,即二个最大值之间的最小值是3π，即|α-β|的最小值为3π
所以，它的周期就是：3π
所以有：2π/w=3π
得w=2/3.

Answer 2

f(x)=sin ωx+√3cos ωx
2sin(ωx+π/)
所以最大值是2
|α-β|就是两个取最大值的点之间的距离
显然最小距离就是一个周期
所以T=3π

Answer 3

∵f(x)=sin ωx+√3cos ωx＝2sin(ωx＋60°）
∴函数f(x)的最大值为2
而f(α)=f(β)=2是函数的最大值，
函数f(x)的最高点相邻最近的就是函数的周期。

Answer 4

f(x)=sin ωx+√3cos ωx=2sin(ωx+π/3)，令f(x)=2sin(ωx+π/3)=2，则sin(ωx+π/3)=1，所以ωx+π/3=2kπ+π/2，则ωx=2kπ+π/6，x=(2kπ+π/6)/ω，则|α-β|=|(2k1π+π/6)/ω-(2k2π+π/6)/ω|=2π|k1-k2|/ω，当k1-k2=±1时，|α-β|最小，此时最小值为2π/ω，则有2π/ω=3π，所以ω=2/3。
其实，这题还可以根据图形来考虑，因为sin(ωx+π/3)=1在一个周期内只有一个点可以取到，那么|α-β|的最小值就是一个周期，则直接有：2π/ω=3π，所以ω=2/3。

Answer 5

是啊！这是总结出来的规律！你画个正弦或余弦的图像看看，就知道了！