Question

高分求助一个与罗比达法则相关的高等数学问题，高手，大牛请进~~！！！

Answer 1

不知道学过上下极限没？用上下极限容易证明。不妨设lim g(x)=正无穷。
1、当A为有限数时，对任意的e>0，存在X1，当x>X1时，有A－e<f'(x)/g'(x)<A+e，
于是对任意固定的x0>X1，有A－e<【f(x)－f(x0)】/【g(x)－g(x0)】=f'(c)/g'(c)<A+e，当x>x0时。
即A－e<【f(x)/g(x)－f(x0)/g(x)】/【1－g(x0)/g(x)】<A+e，左边不等式取下极限，右边不等式取上极限，并注意到x趋于正无穷时，分母极限是1，分子第二项极限是0，故有
A－e<=下极限lim f(x)/g(x)<=上极限lim f(x)/g(x)<=A+e，再令e趋于0，得
lim f(x)/g(x)=A=lim f'(x)/g‘(x)。
2、当A＝正无穷时，条件可改写为lim g'(x)/f'(x)=0，注意到此时必有lim f(x)=无穷，于是由上面证明知道有lim g(x)/f(x)=0，故lim f(x)/g(x)=正无穷（注意到分子分母都是正数）。
3、当A＝负无穷时，考虑－f(x)即可。

追问

我没有学过上下极限，但是受到你的启发你看我这様是不是对的。。。
我只证明A为有限数的情况：
任取x0<x，由中值定理，必存在x0<e<x 使得：
【f(x)－f(x0)】/【g(x)－g(x0)】=f'(e)/g'(e)
现在让e趋于0，则x也必趋于0，此时：【f(x)－f(x0)】/【g(x)－g(x0)】=f'(e)/g'(e)=A
进而A=【f(x)/g(x)－f(x0)/g(x)】/【1－g(x0)/g(x)】=f(x)/g(x)
即：lim f(x)/g(x)=A=lim f'(x)/g‘(x)

追答

你写得不严格：e不知道能否趋于无穷，因为e是随着x的变化而变化的，是让x变话，e跟着变化。
我上面的证明过程中得到不等式：A－e---A*g(x0)/g(x)--e(1--g(x0)/g(x))+f(x0)/g(x)。
上面两个不等式中，A*g(x0)/g(x)和f(x0)/g(x)随着x趋于无穷，都趋于0，因此存在X2，当x>X2时，有这两项的和的绝对值<2e，而e(1--g(x0)/g(x))的绝对值小于2e，总之得到
|f(x)/g(x)--A|<4e。由极限定义知道结论成立。

追问

哦，那假如x0不任意吧。但是只要x0取得足够大的时候(比如x0大于上面的X1，X2)，e不就能够趋近于无穷大啊。。

追答

是先固定x0才能考虑x趋于无穷。不固定x0是没办法考虑极限的。

追问

是啊啊 我就是先固定x0啊，只是我要求它总够大而已啊

Answer 2

f(x)，g(x）在x=x0出展开成泰勒级数就会知道了，令x趋近于无穷大。

追问

说具体点！先回答对不对的问题?

Answer 3

个人理解不对，要上下同时可导才行

追问

题意本来就是同时可导的呀！！？