Question

函数y=2x/(2+x^2)的值域

求具体解法，顺便问问遇到这种除式的求值域有什么技巧么

Answer 1

y=2x/(2+x²)
=2/(2/x + x) (上下同时除以x)
①x=0，y=0
②x＞0，0＜y=2/(2/x + x) ≤ 2/(2√2 )= √2/2
③x＜0，则-x＞0，0＞y=2/(2/x + x) = -2/ [2/(-x) + (-x)] ≥ -√2/2
∴值域为[-2√2，2√2]

再举些例子：
例如：
1、 y=(2+x²)/2x = 1/x + x/2 ≥2√(1/2)=√2
2、y= (2x²+7x + 6)/x = 2x + 6/x + 7 ≥2√12 + 7 = 4√3 + 7
3、 y=x/(2x²+7x + 6)=1/(2x + 6/x + 7) …………
4、 y=(2x²+7x + 6)/(x+1)
这个有点复杂：只用看分子，把分子的x一步步化成x+1
2x²+7x + 6
= 2(x+1)²+7x+6 - 4x - 2
= 2(x+1)²+3x+4
= 2(x+1)²+3(x+1)+4 - 3
= 2(x+1)²+3(x+1)+1
∴y=[2(x+1)²+3(x+1)+1]/(x+1) = 2(x+1) + 1/(x+1) + 3 ≥2√2 + 3
5、就是第四题的反过来，和上面一样。

Answer 2

当x=0，y=0。
当x<>0，则y=2x(2+x^2)=2/(x+2/x)。
若x<0，x+2/x<=-2√2、-√2/4<=1/(x+2/x)<0、-√2/2<=2/(x+2/x)<0。
若x>0，x+2/x>=2√2、0<1/(x+2/x)<=√2/4、0<2/(x+2/x)<=√2/2。
所以，函数的值域是[-√2/2,√2/2]。

Answer 3

y=2x/(2+x^2)
=2/(2/x+x)
x>0,2/x+x>=2√(2/x*x)=2√2,y<=(√2)/2
x<0,y=-(2/(2/(-x))*(-x))>=-(√2)/2

∴y∈[-(√2)/2,0)∪(0,(√2)/2)

Answer 4

∵2+x^2∈[2，+∞）
2x∈R
y∈R

Answer 5

x=0,y=0
x>0时y=2/[x+2/x],x+2/x>=2根号2，y=[0,genhao2/2]
x<0,y=[-genhao2/2,0]
因此y=[-genghao2/2,genhao2/2]
分子有理化

Answer 6

X不=0 。