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已知四边形ABCD,点E是CD上的一点,连接AE,BE,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,点E是CD的中
已知四边形ABCD,点E是CD上的一点,连接AE,BE,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,点E是CD的中点,求AD平行于BC...
已知四边形ABCD,点E是CD上的一点,连接AE,BE,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,点E是CD的中点, 求AD平行于BC
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过E做EF,EG,EH垂直于AD,AB,BC
根据角平分线到角两边距离相等得
EF=EG EH=EG即EF=EH
联合DE=EC AFE=CHE=90(这里不能用DEF=CEH,因为FEH不确定共线)
所以DEF全等CEH 得FDE=HCE
所以AD平行于BC
根据角平分线到角两边距离相等得
EF=EG EH=EG即EF=EH
联合DE=EC AFE=CHE=90(这里不能用DEF=CEH,因为FEH不确定共线)
所以DEF全等CEH 得FDE=HCE
所以AD平行于BC
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解:(1)如:①②④⇒AD∥BC.
证明:在AB上取点M,使AM=AD,
连接EM,∵AE平分∠BAD,
∴∠MAE=∠DAE.
又∵AM=ADAE=AE,
∴△AEM≌△AED.
∴∠D=∠AME.
又∵AB=AD+BC,
∴MB=BC.
∴△BEM≌△BCE.
∠C=∠BME,
故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°.
∴AD∥BC.
(2)不正确.
作等边三角形ABM,
AE平分∠BAM,BE平分∠ABM,
且AE、BE交于E,
连接EM,则EM⊥AB,
过E作ED∥AB交AM于D,交BM与C,
则E是CD的中点.
而AD和BC相交于点M.
∴命题:“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是不正确的.
证明:在AB上取点M,使AM=AD,
连接EM,∵AE平分∠BAD,
∴∠MAE=∠DAE.
又∵AM=ADAE=AE,
∴△AEM≌△AED.
∴∠D=∠AME.
又∵AB=AD+BC,
∴MB=BC.
∴△BEM≌△BCE.
∠C=∠BME,
故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°.
∴AD∥BC.
(2)不正确.
作等边三角形ABM,
AE平分∠BAM,BE平分∠ABM,
且AE、BE交于E,
连接EM,则EM⊥AB,
过E作ED∥AB交AM于D,交BM与C,
则E是CD的中点.
而AD和BC相交于点M.
∴命题:“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是不正确的.
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证明∠D+∠C=180度就可以了,利用三角形关系可以得到,这个思路可以嘛?
追问
若给我的条件为AD+BC=AB 我行,但这个中点实在搞不懂用来干嘛的
追答
如果用不到,那就不用,有时候给的条件不一样全用啊。
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在AB上截取一点F,使AF=AD。则△ADE和△AFE有“边角边”相等关系,故DE=FE;
又因为DE=CE,所以FE=CE,即:△BEF和△BEC有“角边边”相等关系,1)故:BC=BF
所以AB=AD+BC,接下来你说你会了。
2)或:所以EA平分∠DEF,EB平分∠CEF,即:∠AEB=180°/2=90°,即∠BAE+∠ABE=90°
即:∠BAD+∠ABC=180°
又因为DE=CE,所以FE=CE,即:△BEF和△BEC有“角边边”相等关系,1)故:BC=BF
所以AB=AD+BC,接下来你说你会了。
2)或:所以EA平分∠DEF,EB平分∠CEF,即:∠AEB=180°/2=90°,即∠BAE+∠ABE=90°
即:∠BAD+∠ABC=180°
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