斐那波契数列

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迷の宙ca
2012-05-08 · TA获得超过169个赞
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斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。
随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……

起源
1202年数学家菲波那契提出了一个著名的兔子问题:假定一对兔子从第三个月起逐月生一对一雌一雄的小兔,每对小兔在两个月后也逐月生一对一雌一雄的小兔,…。问一年之后兔房里共有多少对兔子?   菲波那契是这样来考虑的:设第n个月后兔房里的兔子数为an对,这an应由以下两部分组成:一部分是第n﹣1个月时已经在兔房里的兔子,它们有an﹣1对;另一部分是第n个月中新出世的,而这部分应有第n﹣2个月时兔房里的兔子所生,有a n﹣2对。   ∴有递推关系式(An+1)=(An)+(An-1)(n∈N且n>2),且易知A1=A2 =1。由这个递推关系式可以得到一年后的兔子对数A12=141。这也是递推方法应用的一个最著名的例子。   按照如上的递推,菲波拉契数列前几项如下:   1 1 2 3 5 8 13 21……   从数学上,该数列也是可以推导出通项公式的,其通项公式推导如下:   (An+1)=(An)+(An-1),将An项分解为(((1+√5)/2)+((1-√5)/2))(An),然后移项,得到下式:   (An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)(An)+(An-1)   即(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)((An)-((1+√5)/2)(An-1))   即新数列{(An)+((1+√5)/2)(An-1)}是以((1-√5)/2)为首项,((1-√5)/2)为公比的等比数列   即(An)-((1+√5)/2)(An-1)=((1-√5)/2)^n   即(An)=((1+√5)/2)(An-1)+((1-√5)/2)^n   两边同时除以((1+√5)/2)^n,得又一新数列(Bn)=(Bn-1)+(((1-√5)/2)^n)/(((1+√5)/2)^(n+1))   其中,(Bn)=An/(((1+√5)/2)^n)   依次递归,得到(Bn)=((1+√5)/2)^(-1)+2*(((1-√5)/(1+√5)^2)+(((1-√5)^2)/(1+√5)^3)+……+(((1-√5)^(n-1))/(1+√5)^n))   将Bn带入,化简,得到An=((((1+√5)/2)^n)-(((1-√5)/2)^n))/(√5)   (注√表示根号)   该数列有以下几个性质:   1.随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割比   2.从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1   3.如果任意挑两个数为起始,按照菲波拉契数列的形势递推下去,随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割比,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值(菲波拉契数列的推广)。
朱文云55555
2012-05-07
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兔子问题,设数列{an}满足a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)的数列为菲娜波契数列
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