Question

已知实数x,y满足x^2+y^2-4y+3=0

求:(1)x^2+y^2的最大值
(2)y/x的范围
（3）x+2y的最小值

Answer 1

题中函数可变为：
x^2+(y-2)^2=1，这是一个圆心在(0，2)半径为1的圆的方程。
设x=cosθ，y=2+sinθ，0≦θ≦360°
(1)x^2+y^2=5+4sinθ，当sinθ=1时，
x^2+y^2取最大值9。
(2)y/x=(2+sinθ)/cosθ，分子的值始终为正，分母的值从-1到+1连续变化，所以y/x的范围为(-∞，+∞)
(3)x+2y=4+cosθ+2sinθ
=4+√5sin(θ+φ)
tanφ=1/2
所以x+2y的最小值为4-√5

Answer 2

x²+y²-4y+3=0
x²+(y-2)²=1
圆心为(0,2)半径为1的圆
x²+y²=(根号下(x²+y²))² 表示圆上点到原点距离的平方
当x=0 y=3时 x²+y²有最大值=9
y/x表示圆上的点和原点连线的斜率
过原点作圆的两条切线
解得切点的坐标为(±根号下3/2,3/2)
斜率 为 y/x<=(3/2)/(-根号下3/2)
y/x<=-根号下3
y/x>=(3/2)/(根号下3/2) y/x>=根号下3
所以-根号下3<=y/x<=根号下3
直线x+2y=z 在圆上移动 当和圆相切时 x+2y有最小值
|4-z|/根号下5=1
z=4±根号下5
取最小值 所以z=x+2y的最小值=4-根号下5