Question

如图，直径为5的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M和x轴交于A、B两点，和y轴交于C、D两点且CD=4，抛物线y=ax2+bx+c

如图，直径为5的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M和x轴交于A、B两点，和y轴交于C、D两点且CD=4，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，顶点为N﹒
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；
（3）设点Q是（1）中所求抛物线对称轴上的一点，试问在（1）中所求抛物线上是否存在点P使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）连CM，∵CM=5/2，OC=4/2=2，∴OM=3/2，∴OA=5/2-3/2=1，

         ∴A(-1,0)，B(4,0)，,C(0,2)

             代入y=ax^2+bx+c，解方程组得a= -1/2,b=3/2,c=2

            ∴y= - x^2/2+3x/2+2

(2) 直线CN与⊙M相切。

    由（1）得当x=3/2，y=25/8, ∴N（3/2，25/8）

  由C(0,2)，N（3/2，25/8）求得CN解析式为y=3/4*x+2

  由C(0,2)，M（3/2，0）求得CM解析式为y= -4/3*x+2

 ∴CN⊥CM

∴直线CN与⊙M相切。

（3）存在。当PQ//且=AB=5时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形。

 当x=3/2+5=13/2时，y= -75/8, P(13/2,-75/8)

当x= 3/2-5= -7/2时，y= -75/8, P(-7/2,-75/8)

点P的坐标为P(13/2,-75/8)或P(-7/2,-75/8)