Question

高中导函数大题难题　求解　急用　我采纳！

4.已知函数f(x)=x^3+ax^2-x+c,且a=f'(2/3).
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间
（3）设函数g(x)=[f(x)-x^3]×e^x,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增，求实数c的取值范围。
5.已知函数f(x)=1/x+a lnx (a≠0，a∈R)
(1)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间；
（2）若在区间[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

1
f'(x)=3x^2+2ax-1
f'(2/3)=4/3+4/3a-1=a ==> a=-1
(2)f'(x)=3x^2-2x-1 =3(x-1)(x+1/3)
f'(x)>0 ==> x<-1/3,或x>1
f'(x)<0 ==> -1/3<x<1
递增区间为(-∞,-1/3),(1,+∞)
递减区间 （-1/3,1)
(3)g(x)=[f(x)-x^3]×e^x=[-x^2-x+c]e^x
g'(x)=(-x^2-3x+c-1)e^x
若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增
则g'(x)≥0恒成立，
即-x^2-3x+c-1≥0
c≥x^2+3x+1恒成立
∵x^2+3x+1=(x+3/2)^2-5/4,x∈[-3,2]
∴x=2时，x^2+3x+1取得最大值11
∴c≥11
2
已知函数f(x)=1/x+a lnx (a≠0，a∈R)
(1)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间；
（2）若在区间[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围。

a=1时，f'(x)=(x-1)/x^2
0<x<1,f'(x)<0,f(x)递减区间（0，1），
x>1,f'x)>0,f(x)递增区间（1，+∞）
f(x)极小值=f(1)=1
(2)
若在区间[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立
则x∈[1，e],f(x)min<0
f'（x)=-1/x^2+a/x =(ax-1)/x^2=a(x-1/a)
a<0时，f'(x)<0恒成立，f(x)递减，f(x)min=f(e)=1/e+a
1/e+a<0 ==>a<-1/e

0<1/a≤1时，a≥1时，x∈[1,e] ,f'(x)>0,f(x)递增，
f(x)min=f(1)=1,不合题意

1<1/a<e,即1/e<a<1时，
x∈[1,1/a) ,f'(x)<0, x∈(1/a,e] ,f'(x)>0,
f(x)min=f(1/a)=a-alna=a(1-lna) >0

1/a≥e即0<a≤1/e时，f(x)递减
f(x)min=f(e)=1/e+a >0,不合题意

综上a<-1/e

Answer 2

做出来有没有分给啊？？
求导之后c就没有了，所以得到关于a的方程，a就可以求出来了
第二问的话c不知道不影响单调性，所以可直接求导就可以了
第三问的话求导之后令导数大于0在[-3,2]上成立就可以了

给分就给详细过程，没分就直说思路。

Answer 3

我就来解答第二个吧
（1）D=(0,+无穷）
f'(x)=-1/X^2+1/x=0
得x=1
0<x<1时f'(x)<0.
x>1时f'(x)>0
x=1时极小值为f（1）
单调区间（0,1）减 （1，+无穷）增
（2）即要求1<=x<=e时最小值小于0
f‘（x)=1/x(a-1/x)
讨论a-1/x的符号求出对应的最小值使其小于0即得
1#a<1/e时单调减 最小值1/e+a<0
a<-1/e
2#a>1时 无解
3#1/e<a<1时 x=1/a时最小
依旧无解
综上a<-1/e