Question

在平面直角坐标系内,O为原点,抛物线y=ax2+bx经过点A(6,0)，且顶点B（m，6）在直线y=2x上

如图，在直角坐标平面内，O为原点，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(6，0)，且顶点B（m，6）在直线y＝2x上．
(1)求m的值和抛物线y＝ax2＋bx的解析式；
(2)如在线段OB上有一点C，满足OC＝2CB，在x轴上有一点D(10，0)，联结DC，且直线DC与y轴交于点E．
①求直线DC的解析式；
②如点M是直线DC上的一个动点，在x轴上方的平面内有另一点N，且以O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请求出点Ⅳ的坐标．（直接写出结果，不需要过程．）

Answer 1

：（1）∵顶点B（m，6）在直线y=2x，

∴m=3，（1分）

根据题意，{36a+6b=09a+3b=6，解得{a=-23b=4，

∴抛物线：y=-23x2+4x；（3分）

（2）①作CH⊥OA，BG⊥OA，

∴CH∥BG，

∴CHBG=OCOB，

∵OC=2CB，

∴CH6=23，CH=4，

∴点C的坐标为（2，4）（2分）

∵D（10，0）根据题意{2k+b=410k+b=0，解得：{k=-12b=5，

∴直线DC解析式y=-12x+5；（2分）

②如图：∵四边形ENOM是菱形，

∴OS=ES=12OE=52，

∴NK=52，

∵ON∥DE，

∴tan∠NOK=tan∠EDO=EOOD=MKOK=12，

∴OK=5，

∴N1（-5，52），

如图：∵EM⊥OB，

∴ON=2OC，

∵点C的坐标为（2，4），

∴N2（4，8）；

③如图：

∵直线DC解析式y=-12x+5，

∴E（0，5），

设M（x，-12x+5），

∵四边形ENOM是菱形，

∴EM=OE=5，即x2+（-12x）2=25，解得x=25，

∴M（25，5-5），

∴可设N（25，y），则|5-5-y|=5，解得y=-5或y=10-5（舍去）

∴N3（25，-5）．