Question

高二数学！要详细过程！

1.若将6本不同的书放到5个不同盒子里，每个盒子至少一本，有多少种放法
2.若将6本不同的书放到6个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法
3.若将6本书放到4个不同盒子中，每个盒子至少一本，有多少种放法

Answer 1

1.若将6本不同的书放到5个不同盒子里，每个盒子至少一本，有多少种放法
说明有一个盒子有两本书，其他盒子各有1本书
将放入同一盒子的两本书跳出来方法为C(6,2)=15种，再跳盒子C(5,1)=5种
其他四本书各放一个盒子是四本书的一个排列有A(4,4)=24种
所以方法为15×5×24=1800

2.若将6本不同的书放到6个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法,挑出空盒子方法为C(6，1)=6种
剩下的就是将6本不同的书放到5个不同盒子里（即第一题的答案）方法为1800种
所以方法为6×1800=10800

3.若将6本书放到4个不同盒子中，每个盒子至少一本
考虑盒子里的书的数量，只能是两种情况
情况1：有一个盒子有3本书，其他盒子各有1本书
情况2：有2个盒子有2本书，其他盒子各有1本书
情况1：类似 1题的讨论 ，将放入同一盒子的3本书挑出来方法为C(6,3)=20种，再挑盒子C(4,1)=4种，其他3本书各放一个盒子是3本书的一个排列有A(3,3)=6种，其方法为20×4×6=480
情况2：有2个盒子有2本书，将这4本书先挑出来，2个盒子也挑出来，有C(6,4)C(4,2)=15×6=90种，再在挑出的4本书中挑选2本放入挑出的两个盒子中号码编号小的里面，方法为C(4,2)=6种
最后还剩2本书2个盒子方法为A(2,2)
情况2的方法为90×6×2=1080种
第三题的答案是480+1080=1560种

注：也可使用捆绑法解题。如第三题第二种情况，先挑出4本书，然后两个两个捆在一起
挑出的方法有C(6,4),捆在两捆的方法有3种（搞清楚其中一本特定的书和谁捆在一起即可）
这样就变成了4个物体放入4个盒子，每个盒子1个物体的排列
方法为C(6,2)×3×A(4,4)=15×3×24=45×24=1080

Answer 2

第一个题目，6本书放5个不同的盒子，意味着一定有两本书是放在同一个盒子里的，所以我们先分好组，再放入5个盒子中。{[C（6，2）*C(4,1)*C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)]/A(4,4)}*A(5,5)
第二个题目，可以看成是第一个题目的变形，只不过多了一步骤，先选个空盒子。也就是等于上一题的结果再乘多一个C(6,1)
第三个题目，用6本书放4个不同的盒子，每个盒子至少一本，若这6本是不同的书的话，则跟第一题的意思差不多，只不过分组情况为（1，1，1，3）（1，1，2，2）这两大类。先分好组再分到盒子中，{[C(6,3)C(3,1)C(2,1)C(1,1)/A(3,3)]+[C(6,2)C(4,2)C(2,1)C(1,1)/A(2,2)A(2,2)]}*A(4,4)
如6本是相同的书，则用隔板法，用三个隔板去隔，在6本书形成的5间隙中放三个隔板，所以此时是C(5,3)

望能看得懂。如觉得有道理，就纳了吧。。。

Answer 3

1,1800
2,10800
3,480

追问

我想知道计算的公式

追答

1,C﹙6,2﹚A﹙5,5﹚
2,C﹙6,1﹚C﹙6,2﹚A﹙5,5﹚
3,C﹙6,3﹚A﹙4,4﹚