Question

一个数学题，求高手帮忙

已知f(x)=根号（2）sinxsin(x-45°）-1/2 若A为锐角三角形ABC的最小内角，试求f(A)的最大值

Answer 1

首先，锐角三角形的最小内角不超过60°。用反证法证明该结论，如果锐角三角形最小内角大于60°，另外两个内角更要大于60°，三个内角的和就超过180°。这与三角形内角和等于180°矛盾。所以锐角三角形最小内角小于等于60°（等号在等边三角形时成立）。其次，f（A）的最大值和sinxsin(x-45°)的最大值点相同，明显sinxsin(x-45°)=1/2(cos45°-cos(2x-45°))画出-cos(2x-45°)这个函数的曲线即可看出，在A取60°时f(A)取得最大值“根号（2）sin60°sin(60°-45°）-1/2”

Answer 2

f(x)=根号下2sinxsin(x-π/4)-1/2
=根号下2sinx×(根号下2sinx/2-根号下2cosx/2)-1/2
=sin²x-sinxcosx-1/2
=-cos2x/2-sin2x/2
=-根号下2sin(2x+π/4)/2
f(A)=-根号下2sin(2A+π/4)/2
A为锐角三角形最小角
所以 A<60
π/4<2A+π/4<11π/12
当 2A+π/4=π/2时 有最大值
f(A)最大值=根号下2/2

追问

前面系数是负数，那只能取得最小值

追答

对 π/4<2A+π/4<=11π/12
当2A+π/4=11π/12时
有最大值 f(A)=(-根号下2/2)×1/2=-根号下2/4