Question

二次函数f（x）与x轴有两个交点，他们之间的距离为6，且满足f(2+x)=f(2

二次函数f（x）与x轴有两个交点，他们之间的距离为6，且满足f(2+x)=f(2-x),且该函数最小值为-9，求f(x)的解析式？

Answer 1

f(2+x) = f(2-x), 该二次函数的对称轴为x = (2+x+2-x)/2 = 2
于是，二次函数可表达为f(x) = a(x - 2)²+b
该函数最小值为-9， 则a > 0, b = -9
f(x) = a(x - 2)²+b = ax² - 4ax +4a-9
x1+x2 = 4, x1*x2 = (4a-9)/a
x2 - x1 = 6
(x2 - x1)² = 36 = (x2 + x1)² -4x1*x2 = 16 -4(4a-9)/a
-4(4a-9)/a = 20
a = 1
f(x) = x² - 4x -5