Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点，求证C1O平行面AB1D1？A1C垂直面AB1D1?

Answer 1

1、线线平行---线面平行
连接A1C1与B1D1，交点为O1，连接AC,
由正方体知A1C1//AC，A1C1=AC，O1C1//AO，O1C1=AO
所以OC1O1A为平行四边形，即　C1O//AO1
又　AO1在面AB1D1，C1O不在AB1D1，
所以C1O//面AB1D1
2、证明：
连接A1C1;
∵正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C1,B1D1是面A1B1C1D1的对角线；
∴A1C1⊥B1D1，
又CC1⊥面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1
又A1C1∩CC1=C1
∴B1D1⊥面A1CC1
∴B1D1⊥A1C
同理连接A1B，可证AB1⊥A1C
这样B1D1∩AB1=B1
∴A1C⊥面AB1D1

Answer 2

连接A1C1交B1D1于H点，连接AH。可以知道HC1平行于且等于AO，得到平行四边形AHC1O，可以得到AH平行于C1O，根据定理可以得到C1O平行于平面AB1D1。