Question

已知函数f(x)满足：1.定义域为R；2.任何x∈R,有f(x+2)=2f(x);3.当x∈[0,2]时,f(x)=2-|2x-2|。

记g(x)=f(x)-根号下|x|(x∈【-8,8】).根据以上信息，可以得到函数g(x)的零点个数为___.

Answer 1

x∈[0,2]时,f(x)=2-|2x-2|=2-2|x-1|

 

2<x≤4,0<x-2≤2,  f(x)=2f(x-2)=2[2-|2(x-2)-2|]=4-2|2(x-3)|

-2<x≤0==> 0<x+2≤2   f(x)=1/2f(x+2)=1/2[2-|2(x+2)-2|] =1-|x+1|

x∈(-2,0],图像为关于x=-1对称的折线（-2，0）--（-1，1）---（0，0）

x∈[0,2]时,图像为关于x=1对称的折线（0，0）--（1，2）---（2，0）

x∈(2,4]时，图像为关于x=3对称的折线（2，0）--（3，4）---（4，0）

每段折线宽度均为2，高度，从左向右每一段是前一段的2倍

令g(x)=f(x)-√|x|=0 ==>  f(x)=√|x|  g(x)的零点个数，既是y=f(x)的图像与y=√|x|的图像交点的个数

 y=√|x|是偶函数，图像关于y轴对称，画出两个函数图像

 当x∈【-8,8】)时，共有10个交点，所以答案为 10

Answer 2

.当x∈[0,2]时,f(x)=2-|2x-2|
={4-2x，1<=x<=2;
{2x,0<=x<1.
任何x∈R,有f(x+2)=2f(x),
∴f(x)={x+2,-2<=x<=-1;
{[4-2(x+2)]/2=-x,-1<=x<=0
-1<=x<=1时g(x)=0,g(x)的零点个数为无穷多个。