Question

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交与点C，点A坐标

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交与点C，点A坐标为（-3,0），若将经过A,C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=-2，如果R是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点R使得角BRC=45°，若存在，求出点R的纵坐标，若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）∵y=kx+m沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴m=3，C（0，3）．
将A（-3，0）代入y=kx+3，
得-3k+3=0．
解得k=1．
∴直线AC的函数表达式为y=x+3．
∵抛物线的对称轴是直线x=-2
∴{9a-3b+c=0-b2a=-2c=3，
解得{a=1b=4c=3；
∴抛物线的函数表达式为y=x2+4x+3;(2) 作点A（1，0）关于y轴的对称点A'，则A'（-1，0）．
连接A'C，A'D，
可得A'C=AC=10，∠OCA'=∠OCA．
由勾股定理可得CD2=20，A'D2=10．
又∵A'C2=10，
∴A'D2+A'C2=CD2．
∴△A'DC是等腰直角三角形，∠CA'D=90°，
∴∠DCA'=45度．
∴∠OCA'+∠OCD=45度．
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度

Answer 2

解：存在，点R的纵坐标为：
依题意：C点坐标为（0，3）
又，A点坐标为（-3，0），对称轴是x=-2
可求得抛物线解析式为：y=x²+4x+3
点B的坐标为（-1，0）
令角BRC=45°，设R的纵坐标为y
则BC=根10，BR=根（1+y²），RC=根[4+(y-3)²]
由公式cosB=(a²+c²-b²)/2ac可得
cos45度=【1+y²+4+(y-3)²-10】/2根（1+y²）*根[4+(y-3)²]

追问

cosB=(a²+c²-b²)/2ac公式初中没有学？后面计算也很麻烦，有更简便的方法么？

追答

求得如上关系之后，做图如图所示：
在ΔABC中，对称轴x=-2是AB的垂直平分线，交x轴于点D
作AC的垂直平分线交对称轴于点O′
由于ΔOAC是等腰直角三角形，所以AC的垂直一部分线过点O且OD=O′D=2
以O′A为半径，O′为圆心作ΔABC的外接圆
由图可知，圆O′与对称轴x=2相交的点即为所求点R，此时角BRC=45度
易知合适的R有两个点。
在ΔO′AD中，O′D=2，AD=1，所以O′A=√5，即圆O′的半径为√5
所以R的纵坐标分别为：2+√5和2-√5
（这次可能看得明白？）

参考资料： 的