Question

如图,正方形ABCD的边长为1,G是CD边上的一个动点(G不与C、D重合),以CG为一边向正方

如图，正方形ABCD的边长为1，G是CD边上的一个动点（G不与C、D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE、BG，并延长BG交DE于点H．
（l）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
（2）当点G运动到何处时，四边形DGEF是平行四边形，并加以证明．
（3）当点G运动到何处时，BH垂直平分DE？请说明理由
我看过这道题了 图你可以自己搜下 连接GE难道不能证明吗？求解释

Answer 1

第一问①可以直接用三角形全等定理证出②根据①的结果，加上三角形内角和180°，对顶角相等可证出。
下两问，假设法可以简单证出的
第二问，当G为DC中点时四边形DGEF是平行四边形
证明：假设四边形DGEF是平行四边形，则DF∥GC，GCEF为正方形
∴∠DFG=∠FGE=45°
∴△DFG为等腰直角三角形，DG=GF=GC
∴G为DC中点
得出G为DC中点四边形DGEF是平行四边形
第三问，证明：假设BH垂直平分DE，则DG=GE
在△GCE中 GE²=GC²+CE²
∴CG=√2GE=√2DG
又∵CD=CG+DG=（√2+1）DG，CD=1
∴DG=1/（√2+1）
综上当点G运动到距D点1/（√2+1）的距离时BH垂直平分DE

Answer 2

因为∠BCD和∠DCE是直角，所以三角形BCG和DCE是直角三角形，因为ABCD和GCEF是正方形，所以BC=CD，GC=CE，所以全等（直角三角形同底等高就全等）
2）因为三角形BCG和DCE全等，所以∠GBC=∠GDE，因为∠GDE+∠DEC=90度。所以∠GBC+∠DEC=90度，所以∠BHE是直角，所以BH⊥DE。
3）设CD=1 ，G在CD长X处时，BH垂直平分DE，即BD=BE=1+X（根据垂直平分的定义）。因为CD=BC，CG=CE，所以BE=1+X，BD的平方=1的平方+1的平方（勾股定理），所以BD=2的开根，要使BH垂直平分DE，即BD=BE，只需1+X=2的开根，所以X=2的开根-1

Answer 3

解：当CG= （根号2） -1时，BH垂直平分DE，
理由：连接BD，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD=BC=1，
∴BD= AB2+AD2 = （根号2） ，
∵CG= （根号2） -1，
∴BE=BC+CE= （根号2） ，
∴BD=BE，
∵BH⊥DE，
∴DH=EH，
∴BH垂直平分DE，
∴当CG= （根号2）-1时，BH垂直平分DE．