急求:∫-1到1(X的平方-SinX)√(1-X的平方)dX的答案。步骤也要,谢谢。邮箱1270699753@qq.com
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∫[-1→1] (x²-sinx)√(1-x²) dx
注意:sinx√(1-x²)为奇函数,积分区间又对称,因此积分为0,所以被积函数只剩x²√(1-x²)
=∫ [-1→1] x²√(1-x²) dx
由于被积函数是偶函数,由奇偶对称性得
=2∫ [0→1] x²√(1-x²) dx
令x=sinu,则√(1-x²)=cosu,dx=cosudu,u:0→π/2
=2∫ [0→π/2] sin²ucosu*cosu du
=2∫ [0→π/2] sin²ucos²u du
由sin2u=2sinucosu
=(1/2)∫ [0→π/2] sin²2u du
=(1/4)∫ [0→π/2] (1-cos4u) du
=(1/4)(u-(1/4)sin4u) |[0→π/2]
=π/8
注意:sinx√(1-x²)为奇函数,积分区间又对称,因此积分为0,所以被积函数只剩x²√(1-x²)
=∫ [-1→1] x²√(1-x²) dx
由于被积函数是偶函数,由奇偶对称性得
=2∫ [0→1] x²√(1-x²) dx
令x=sinu,则√(1-x²)=cosu,dx=cosudu,u:0→π/2
=2∫ [0→π/2] sin²ucosu*cosu du
=2∫ [0→π/2] sin²ucos²u du
由sin2u=2sinucosu
=(1/2)∫ [0→π/2] sin²2u du
=(1/4)∫ [0→π/2] (1-cos4u) du
=(1/4)(u-(1/4)sin4u) |[0→π/2]
=π/8
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