Question

急求：∫－1到1（X的平方-SinX）√（1-X的平方）dX的答案。步骤也要，谢谢。邮箱1270699753@qq.com

Answer 1

∫[-1→1] (x²-sinx)√(1-x²) dx
注意：sinx√(1-x²)为奇函数，积分区间又对称，因此积分为0，所以被积函数只剩x²√(1-x²)
=∫ [-1→1] x²√(1-x²) dx
由于被积函数是偶函数，由奇偶对称性得
=2∫ [0→1] x²√(1-x²) dx
令x=sinu，则√(1-x²)=cosu，dx=cosudu，u：0→π/2
=2∫ [0→π/2] sin²ucosu*cosu du
=2∫ [0→π/2] sin²ucos²u du
由sin2u=2sinucosu
=(1/2)∫ [0→π/2] sin²2u du
=(1/4)∫ [0→π/2] (1-cos4u) du
=(1/4)(u-(1/4)sin4u) |[0→π/2]
=π/8