Question

高数定积分设f(x)=1/(1+x),x≥0 f(x)=1/(1+e^x),x≤0 求积分f(x-1)dx 上限2 下限0

Answer 1

f(x)这么写为理解是分段函数了，0到2对f(x-1)作积分 等价于 -1到1对f(t)作积分，所以分段是有必要的
先作变量代换 t=x-1 变成 积分-1到1 f(t)dt
再分解为两段 变成 积分-1到0 f(t)dt 积分0到1f(t)dt
第一段里表达式就是 f(t)=1/(1+e^t) 上下同时乘以e^(-t)变成 f(t) =e^(-t)/(e^(-t)+1) = -(e^(-t)+1)'/(e^(-t)+1)
所以第一部分的积分等于 -ln(e^(-t)+1)|-1到0 也就是 -ln2 + ln(e+1)
第二部分的积分 等于 0到1积分 1/(1+t)dt = ln(1+t)|0到1 也就是 ln2-ln1 = ln2

两个分段的积分合起来就是原来要求的整个积分，也就是 ln(e+1)

追问

令x-1=t f(t)=1/(2+t),t≥-1 f(t)=1/(1+e^1+t),t≤-1
∫f(t)dt= ∫1/(2+t) dt t从-1到1 可以这样理解吗

追答

。。。。不是。。。
f(x)里的x跟 积分里的 x-1=t的x压根不是一码事
后者是f(x-1)的x，跟前者的x是不一样的。这个在高一时应该就学过这些区别了，x只是一个自变量的形式表示而已。

f(t) 你这里其实对应于 f(x)的x=t
所以 f(t) = 1/(2+t) t大于等于0 而不是t 大于等于-1

Answer 2

f(x)=1/(1+x),x≥0 f(x)=1/(1+e^x),x≤0 求积分f(x-1)dx 上限2 下限0
积分区间是0,2，那么你的f(x)=1/(1+e^x),x≤0无什么意义

追问

所以呢？

追答

计算∫f(x-1)dx ，你要把x-1作为t，然后分两个区间进行积分：0《x《2，于是-1《x-1《1，分为：-1到0,0到1