Question

四边形ABCD为正方形，QA垂直于平面ABCD，PD平行于QA，QA=AB=1/2PD，证明：PQ垂直于平面DCQ

Answer 1

证：由于QA⊥AB，AB⊥AD，AB∩AD=A，AB与AD均在面QAD内，所以AB⊥面QAD；
又PD∥QA,PD∩AD=D,所以PQ在面QAD内，故 AB⊥PQ，而AB∥CD,则PQ⊥CD........①
假设AB=1，则在RtΔADQ中，QD=√（AD²+QA²）=√（1²+1²）=√2；
过点Q作QE⊥PD于E，在RtΔQEP中，PQ=√（PE²+QE²）=√（1²+1²）=√2；
在ΔPQD中，QD²+PQ²=2+2=4=PD²，所以ΔPQD为RtΔ。则有PQ⊥QD........................②
CD∩QD=D....................................................................................................................③
CD与QD均在面DCQ内..................................................................................................④
所以PQ⊥面DCQ得证。
（以上“√”表示 根号）

Answer 2

CD⊥AD，CD⊥PD，所以CD⊥面PQAD，所以CD⊥QP
又隔离平面PQDA
设AB=1，所以AD=AQ=1，PD=2
QD=√2 PQ=√2（因为Q做PD的垂线交于F，QF=1，PF=1，所以PQ=√2）
那么PQ^2+QD^2=4=PD^2
所以PQ⊥QD
又上证QP⊥CD
所以QP垂直面QDC

Answer 3

(你自己把图画出来后照着解就行了)要证PQ垂直于平面DCQ，则只需证，PQ垂直于面DCQ内的两条不平行直线就行了
首先证：
PQ垂直QD
只需证三角形PQD为直角三角形就行，可根据边的关系算出
其次：
由于CD垂直PD
CD垂直AD
所以CD垂直面PDAQ
即CD垂直PQ
综上可证PQ垂直DCQ