Question

如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AE：AB=AF:AC

..

Answer 1

该命题有误。
应该是AE*AB=AF*AC。
证明如下：∠DAB=∠DAE(公共角)，∠ADE=∠DEA(同属直角)，
所以△ABD∽△ADE，可得AE/AD=AD/AB，即AE*AB=AD^2；
同理可得AF*AC=AD^2=AE*AB.

Answer 2

证明;因为DE垂直AB于E
所以角BED=角AED=90度
因为DF垂直AC于F
所以角AFD=90度
所以角AED+角AFD=180度
所以A.E.D.F四点共圆
所以角AFE=角ADE
因为AD垂直BC于D
所以角ADB=角ADE+角BDE=90度
因为角BED=角B+角BDE=90度
所以角B+角BDE=角BDE+角ADE=90度
所以角ADE=角B
所以角AFE=角B
因为角EAF\角BAC （公共角）
所以三角形AFE和三角形ABC相似（AA)
所以：AE:AB=AF:AC

追问

没有角AFE

Answer 3

证明：
因为,ab=ac,ad⊥bc于点d，
所以ad是△abc顶角的平分线（三线合一），
所以∠bad=∠cad,
又de⊥ab于点e,df⊥ac于点f，
所以∠aed=∠afd
在△ade和△adf中
∠bad=∠cad
∠aed=∠afd
ad=ad
所以△ade≌△adf
所以ae=af,de=df
所以a,d在线段ef的垂直平分线上，
所以ad是ef的垂直平分线