Question

我今天问了您一个微分方程的问题，但还没有问完，我不小心按了采纳，麻烦您再帮我解答一下。谢谢

原问
1）y''=1+y'^2
解：令p=y' 则p'=y'' ... ...

2) 1+y'^2=2yy''
解：令p=y' 则y''=pp' ... ...

3）2xy'y''-y'^2=1
解：令p=y',则p'=y''

我的问题是，上述第一二个微分方程均是不显含x的，为什么一个p是关于x的函数，一个p是关于y的函数？

拿第3）个来对比，是显含x的，设的p是关于x的函数。想问下，为什么有时候p设为x的函数，有时候又是关于y的函数？两个可以互换吗？

您的解答：
2因为显含y，故p是y的函数。1不含x也不含y，都可以设，一般设p是x的函数较简单，因为一下子已求出y'

追问：为什么只有显含的变量才能设？难道x没有出现p就不能设成x的函数？

Answer 1

微分方程换元后只有两个变量。
你的方程1不显含x也不显含y，p可以设y'是x的函数，也可以设p是y的函数。设为x：求出p就已求出y'；如果p设成是y的函数，后面还要计算y'才行，故选p=y'是x的函数较好。
你的方程2显含y，p只能设成是y的函数，不然变量就有3个了。