Question

求助高数

由拉格朗日中值定理可知：
对于任意x>0,存在a,满足0<a<x,(sinx-sin0)/(x-0)=cosa
那么对于这样的a
求极限：lim(x→0+)a/x=

Answer 1

一种做法是：既然考虑x趋于0+，因此解出a即可。
a＝arccos(sinx/x)，于是lim a/x=lim arccos(sinx/x)/x，然后用洛必达法则或Taylor展式。此题建议先用洛必达法则再用Taylor展式。
第二种做法是一开始就用Taylor展式：
1－a^2/2+小o(a^2)=cosa=sinx/x=1－x^2/6+小o(x^2)。
注意到当x趋于0+时，有a趋于0+，因此得
a^2/2=x^2/6+小o(x^2)，两边同除以x^2，然后取极限得
lim a^2/(2x^2)=1/6，
于是有lim a/x=根号(1/3)。

追问

~~
书把这一题放在“罗比达法则”这一章了，
这是一道打星号的题目
下一章才是“Taylor展开式”
有没有不用“Taylor展开式”的方法？

追答

那就是第一种做法了：
计算lim arccos(sinx/x)/x 洛必达法则后分子分母同乘以x然后分开计算
＝lim x/根号(1－(sinx/x)^2)× lim －(xcosx－sinx)/x^3 第二项用洛必达法则
＝lim 1/根号【(x^2－sin^2x)/x^4】 ×lim xsinx/(3x^2)
第二项极限是1/3。因此计算第一项。分子分解因式分开计算
lim (x+sinx)/x *lim (x－sinx)/x^3 洛必达法则
=2*lim (1－cosx)/(3x^2)
=1/3。
因此第一项极限是根号(3)，综上极限是根号(3)/3。
这样计算比较麻烦。

Answer 2

拉格朗中值定理是有应用条件的
+∞

追问

这是百度百科上关于“拉格朗日中值定理”的定义　
拉格朗日中值定理又称拉氏定理。 　
　如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]，
使得 　　f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

请认真看题想题
没有把握的题目不要乱答

追答

fangpi