Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD。

已知BD=2，AD=3，求：
（1）tanC
（2）图中两部分阴影图形的和
.

Answer 1

连接OE，∵AB、AC为切线，∴OD⊥AB，OE⊥AC，又∠A=90°，∴四边形ADOE是矩形，
又OD=OE，∴四边形ADOE是正方形。∴半径OD=OE=AD=3，
∵∠C=∠BOD，而tan∠BOD=BD/OD=2/3，∴tanC=2/3.
⑵在RTΔOEC中，tanC=OE/CE=2/3，∴CE=4.5，∴AC=7.5，
OC=√(OE^2+CE^2)=3/2√13，OB=√(BD^2+OD^2)=√13
由此可以求出图中任何线段或任何一小块的面积，因为没图，不知阴影部分在何处。

追问

我插入了图片，显示不出来

追答

S阴影=SΔOBD+SΔOCE-1/4S圆
=3+6.75-1/4π*3^2
≈2.685

Answer 2

解：（1）连接OE，
∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，
∴AD⊥OD，AE⊥OE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=3，
∴∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，tan∠BOD=
BDOD=
23，
∴tanC=
23．
答：tanC=23．

（2）如图，设⊙O与BC交于M、N两点，
由（1）得：四边形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵在Rt△EOC中，tanC=
23=OECE，OE=3，
∴EC=
92，
∴S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE=14S圆O=
14π×32=
94π，
∴S阴影=S△BOD+S△COE-（S扇形DOM+S扇形EON）=394-
94π，
答：图中两部分阴影面积的和为394-
94π．

Answer 3

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