Question

若关于m的不等式mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1≥0的解集为空集，求m的取值范围

Answer 1

若关于m的不等式mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1≥0的解集为空集,则
关于m的不等式mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1<0的解集为R,即
当m=0时，-x-1<0,不符合题意
设不等式mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1<0对应的函数为f(x)=mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1
当m>0时，函数f(x)是一条开口向上的抛物线，不符合题意
当m<0时,欲使mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1<0的解集为R，须使
Δ<0,﹙2m＋1﹚²-4m(m-1)<0
8m+1<0
m<-1/8
所以若关于m的不等式mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1≥0的解集为空集，则m的取值范围为m<-1/8

Answer 2

解：令f(x)=mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1≥0
当m=0时，f(x)是一个一次函数，值域为R，与f(x)≥0的解集为空集矛盾，所以m=0不成立
当m>0时，f(x)是一个开口向上的抛物线，值域为[(4ac-b²)/(4a)，＋∞)，与f(x)≥0的解集
为空集矛盾，所以m>0不成立.
当m<0时，f(x)是一个开口向下的抛物线,若抛物线与x轴没有交点，满足f(x)≥0的解集
为空集这个条件，即△=[-(2m+1)]²-4m(m-1)=8m+1<0 所以m<-1/8
所以m的取值范围为m<-1/8

Answer 3

解：
若m=0,-x-1>=0解集不为空 不符合题意
若m>0,二次函数f(x)=mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1开口向上，判别式为（2m+1)^2-4m(m-1)=8m+1>0
函数与x轴2个交点，解集不为空
所以，只有可能是m<0
此时，二次函数f(x)=mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1开口向下，要满足不等式mx²－﹙2m＋1﹚x＋m－1≥0的解集为空集，必须二次函数图像全部位于x轴下方，即
判别式8m+1<0,解得m<-1/8

Answer 4

m<0
(2m+1)²-4m(m-1)<0
解得m<-1/8