Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2,PA=2,PD=2倍根号2，角PAB=60°，

⑴证明AD⊥平面PAB。⑵求异面直线PC与AD所成的角的正切值。⑶求二面角P-BD-A的正切值。 只要第三问，说个大概就可以了！！！

Answer 1

（1）因为PA=2，AD=2，PD=2√2，则PA的平方加上AD的平方等于PD的平方，根据勾股定理可知AD垂直于PA。又因为ABCD是矩形，所以，AD垂直于AB。综上，AD垂直于平面PAB中两条不平行的直线，所以AD⊥平面PAB。
（2）PC与AD所成的角，因为AD平行于BC，也就是PC与BC所成的角。由三角形余弦定理2PA*AB*cos∠PAB=PA的平方+AB的平方—PB的平方，解出PB=√7，则PC与BC所成的角的正切值等于PB/BC=√7/2
（3）PD等于2√2，PB等于√7，BD等于√13，由余弦定理可解出COS∠PBD=6/√91,。在BD上取一点E使PE⊥BD，可解出BE=6/√13，PE=√（55/13）。在AB上取一点F，使FE⊥BD，解出FE=4/√13，BF=2，AF=1，再根据余弦定理解出PF=√3，此时已知道PF、EF和PE的长度，根据与玄定理可解出二面角P-BD-A的余弦值为21/(4√55)，再算正弦值为√（439/880），二者相除，解出二面角P-BD-A的正切值为√439/21。应该是这样，已经好多年不学几何了，不知道对错，你可以算下

Answer 2

建立空间直角坐标系，再找两平面法向量，即可求出cosx，再利用三角函数关系即可求出正切值