Question

已知中心在坐标原点,焦点F1、F2再x轴上的椭圆C的离心率为根号3/2,抛物线X^2=4y的焦点是椭圆C的一个顶点 （

已知中心在坐标原点,焦点F1、F2再x轴上的椭圆C的离心率为根号3/2,抛物线X^2=4y的焦点是椭圆C的一个顶点
（1）求椭圆标准方程
（2）已知过焦点F2的直线l与椭圆C的两个交点为A(X1，Y1)，B（x2，y2），而且|AB|=3，求|AF1|+|BF2|
算第二题

Answer 1

已知中心在坐标原点,焦点F₁，F₂在x轴上的椭圆C的离心率为√3/2,抛物线X²=4y的焦点是椭圆C的一个顶点；（1）求椭圆标准方程；（2）已知过焦点F₂的直线L与椭圆C的两个交点为A(X₁，Y₁)，B（x₂，y₂），而且|AB|=3，求|AF₁|+|BF₂|
解：(1). 抛物线x²=4y的焦点F(0，1)； 故椭圆短半轴b=1；e²=c²/a²=(a²-1)/a²=3/4，故a²=4；
于是得椭圆方程为x²/4+y²=1；a=2，b=1，c=√3；F₁(-√3，0)；F₂(√3，0).
(2)设过F₂的直线L的方程为y=k(x-√3)，代入椭圆方程得x²/4+k²(x-√3)²=1，即有
(1+4k²)x²-8(√3)k²x+12k²-4=0...........(1)
故x₁+x₂=8(√3)k²/(1+4k²)；x₁x₂=(12k²-4)/(1+4k²)
︱AB︱=[√(1+k²)]√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=[√(1+k²)]√[192k⁴/(1+4k²)²-4(12k²-4)/(1+4k²)]
=4(k²+1)/(1+4k²)=3，故k²=1/8，k=±√2/4；代入(1)式得：
(3/2)x²-(√3)x-(5/2)=0，即有3x²-2(√3)x-5=0............(2)
故得x₁=(√3+3√2)/3，y₁=(√2/4)[(√3+3√2)/3-√3]=(3-√6)/6；
故︱AF₁︱=√{[(√3+3√2)/3+√3]²+[(3-√6)/6]²}=[√(31+10√6)]/2
︱AF₁︱+︱AF₂︱=2a=4，故︱AF₂︱=4-︱AF₁︱
∴︱AF₁︱+︱BF₂︱=︱AF₁︱+︱AB︱-︱AF₂︱=︱AF₁︱+︱AB︱-(4-︱AF₁︱)
=2︱AF₁︱+3-4=2︱AF₁︱-1=[√(31+10√6)]-1