Question

如图，BE、CF分别是△ABC的高，P是BE上一点，且BP=AC，Q是CF延长线上一点，且CQ=AB，求证：AP⊥AQ.

Answer 1

CF交BE于M
BE⊥AC，CF⊥AB
所以∠激搏袜MEC=∠MFB=90
又因银搜为∠FMB=∠EMC，所以∠ABP=∠ACQ
在△ABP和△QCA中
AB=CQ，∠ABP=∠ACQ，BP=AC
所以△ABP≌△CAQ。因此∠Q=∠BAP
因为AB⊥CQ，所以∠Q+∠QAB=90
因此∠明激BAP+∠QAB=90
所以AP⊥AQ

∵∠ABP+∠BAC=∠ACQ+∠BAC=90°
∴∠ABP=∠ACQ
又∵BP=AC,CQ=AB
∴△ABP≌△QCA(边角边)
∴∠BAP=∠CQA
∵∠BAP+∠QAB=90°
∴∠CQA+∠QAB=∠QAP=90°
得AP⊥AQ

Answer 2

∵∠陆凳宏ABP+∠BAC=∠ACQ+∠BAC=90°
∴∠ABP=∠ACQ
又∵BP=AC,CQ=AB
∴粗伍△ABP≌△QCA(边角边)
∴∠BAP=∠CQA
∵∠BAP+∠早册QAB=90°
∴∠CQA+∠QAB=∠QAP=90°
得AP⊥AQ